Вопрос или проблема
Давайте скажем, что есть массив, содержащий числа с плавающей запятой, и его размер n. Теперь m чисел будут выбраны из этого массива, и сумма этих m чисел будет генерировать новое число. Таким образом, все возможные комбинации суммы таких m чисел сформируют новый массив, и мне нужно вычислить среднее значение/дисперсию этого нового массива.
Выбор 10 чисел из 100 для формирования такого массива, а затем вычисление дисперсии было бы почти невозможно, не говоря уже о работе с большими исходными массивами.
Я на самом деле пытался испытать удачу с chatgpt, и он смог извлечь правильное уравнение только при выборе 2 чисел из исходного массива, и похоже, что это не просто изменение некоторых параметров, чтобы заставить его работать, когда m больше 2, так как chatgpt постоянно давал неверные ответы.
Так какое уравнение для вычисления среднего значения/дисперсии нового массива без его фактического создания? И возможно, есть лучшие способы вычисления?
Ответ или решение
Расчет среднего значения и дисперсии суммы случайно выбранных чисел из массива
Когда мы имеем массив, состоящий из вещественных чисел размером ( n ), и хотим выбрать ( m ) чисел, чтобы вычислить их сумму, возникает задача, связанная с вычислением среднего значения и дисперсии этого нового множества сумм. Из-за большого количества возможных комбинаций, особенно при значительном размере ( n ) и ( m ), напрямую вычислить все возможные суммы может оказаться трудоемкой задачей. Вместо этого мы можем использовать некоторые статистические свойства, чтобы получить искомые величины.
1. Определение эксперимента
Пусть:
- ( X = [x_1, x_2, \ldots, x_n] ) — ваш массив вещественных чисел.
- ( m ) — количество выбираемых чисел.
2. Среднее значение суммы
Сначала найдем среднее значение одной суммы ( S ), составленной из ( m ) случайно выбранных значений. Среднее значение для любого подмножества ( m ) чисел из массива можно выразить как:
[
E[S] = E[X_1 + X_2 + \ldots + X_m] = E[X_1] + E[X_2] + \ldots + E[X_m]
]
С учетом того, что все ( X_i ) равновероятны, имеем:
[
E[S] = m \cdot E[X]
]
где ( E[X] ) — среднее арифметическое значение всех ( n ) элементов массива:
[
E[X] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
]
3. Дисперсия суммы
Теперь перейдем к вычислению дисперсии суммы ( S ). Дисперсия суммы ( S ) двух и более независимых случайных величин вычисляется следующим образом:
[
\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \ldots + X_m) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \ldots + \text{Var}(X_m)
]
Так как каждая ( X_i ) имеет одинаковую дисперсию, можем выразить:
[
\text{Var}(S) = m \cdot \text{Var}(X)
]
где ( \text{Var}(X) ) — дисперсия исходного массива, которая рассчитывается как:
[
\text{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – E[X])^2
]
4. Итоговые формулы
В заключение, для получения среднего значения и дисперсии суммы ( m ) случайно выбранных элементов из массива ( X ), можно использовать следующие формулы:
-
Среднее значение суммы:
[
E[S] = m \cdot E[X]
] -
Дисперсия суммы:
[
\text{Var}(S) = m \cdot \text{Var}(X)
]
Пример на практике
Допустим, у нас есть массив ( X = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0] ) и мы выбираем ( m = 3 ).
-
Рассчитаем среднее:
[
E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3.0
] -
Рассчитаем дисперсию:
[
\text{Var}(X) = \frac{1}{5} \left((1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2\right) = 2.0
] -
Теперь мы можем использовать формулы:
[
E[S] = 3 \cdot 3.0 = 9.0,
]
[
\text{Var}(S) = 3 \cdot 2.0 = 6.0.
]
Заключение
Используя указанные методы, можно легко и быстро рассчитывать средние значения и дисперсии суммы случайных выборок из массивов без необходимости генерировать все возможные комбинации. Эти подходы экономят время и ресурсы, что делает их полезными в практике анализа данных.