Вопрос или проблема
Этот пост показывает, что условная независимость является достаточным условием для оценки параметров в условной модели. Это заставило меня задуматься о нюансах, когда данные независимы, но не одинаково распределены (INID), по сравнению со случаем IID — при условии, что в обоих случаях предполагается общая условная модель.
Конкретный пример:
Рассмотрим регрессионную модель
$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + u_i,
$$
с предположениями:
- $$ E(y_i \mid x_i) = \beta_0 + \beta_1 x_i, $$
- $$ \operatorname{Var}(y_i \mid x_i)=\sigma^2. $$
Предположим, что данные собираются из $N$ разных регионов (каждый образец может происходить из разного региона). Хотя условная модель $ p(y_i \mid x_i; \theta) $ одинакова для всех наблюдений, маргинальное распределение $x_i$ отличается в разных регионах (например, из-за различных социально-экономических или образовательных факторов). Таким образом, хотя наблюдения независимы и имеют ту же условную структуру, они INID, а не IID.
Мой вопрос:
Вызывает ли природа данных INID, то есть тот факт, что $x_i$ взяты из разных распределений в разных регионах, какие-либо различия или нюансы в оценке параметров по сравнению со случаем IID? Например, существуют ли последствия для согласованности, асимптотической нормальности или эффективного размера выборки оценивателя при использовании таких методов, как MLE или OLS?
Буду признателен за любые идеи или ссылки, которые подробно обсуждают эти вопросы. Заранее спасибо!
Кросс-пост https://stats.stackexchange.com/questions/661756/differences-in-parameter-estimation-for-inid-vs-iid-data-under-a-common-conditi – за этот вопрос назначено вознаграждение!
Ответ или решение
Определение различий в оценке параметров при использовании данных INID и IID под общим условным моделем представляет собой важный вопрос в области статистики, особенно когда рассматриваемые данные собраны из разных источников или регионов. Чтобы глубже понять эту проблему, необходимо рассмотреть различные аспекты и теоретические рамки, касающиеся условных моделей и различий в независимости данных.
Теория
Во-первых, важно напомнить, что в условных моделях, таких как регрессия, мы часто предполагаем, что остатки (ошибки) модели независимы и имеют нормальное распределение. В случае IID (независимые и одинаково распределенные наблюдения), данные предполагают одинаковость распределения для наблюдаемых переменных, что значительно упрощает анализ. В частности, это упрощает применение методов наименьших квадратов (OLS) или метода максимального правдоподобия (MLE). Оценки, полученные этими методами, обладают определенными свойствами, такими как несмещенность, согласованность и асимптотическая нормальность.
Однако в реальной практике данные могут быть INID (независимые, но не одинаково распределенные). Термин INID описывает ситуацию, когда выборки независимы, но происходят из распределений с разными параметрами. В вашем примере с многорегиональными данными, это означает, что маргинальное распределение объясняющей переменной (x_i) отличается в зависимости от региона, несмотря на то что условная модель для (y_i) одинаковая во всех регионах. Это может быть вызвано различными социально-экономическими факторами и условиями, влияющими на (x_i) в каждом регионе.
Пример
Возьмем регрессионную модель:
$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + u_i,
$$
где предположения таковы:
- ( E(y_i \mid x_i) = \beta_0 + \beta_1 x_i )
- ( \operatorname{Var}(y_i \mid x_i)=\sigma^2 )
При этом маргинальное распределение (x_i) варьируется в зависимости от региона, откуда получены данные. Это означает, что хотя условная структура распределения (y_i) фиксирована, (x_i) демонстрирует вариабельность своих распределений, которая может взаимодействовать с параметрами модели.
Применение
Проблема, стоящая перед аналитиками при работе с INID данными, заключается в потенциальных трудностях при оценке параметров модели:
-
Согласованность оценок: Технически, INID данные могут по-прежнему обеспечивать согласованные оценки, но дополнительные условия необходимы для сохранения этой согласованности. Подразумевается, что, хотя данные независимы, изменения в распределениях (x_i) могут потребовать коррекции или дополнительной информации о маргинальных распределениях для поддержания согласованности.
-
Асимптотическая нормальность: Хотя INID данные не нарушают закон больших чисел или центральную предельную теорему, вариация в распределениях (x_i) может сказаться на дисперсии оценок, что в свою очередь влияет на надежность асимптотической нормальности.
-
Эффективный размер выборки: Различие в маргинальных распределениях может усложнить интерпретацию размера выборки и повлиять на оценку эффективного размера выборки. Это связано с тем, что часть информации в данных может быть менее информативной для оценки конкретных параметров, если распределение (x_i) сильно отличается.
-
Методы оценки: В случае INID данных может потребоваться использование моментов или других техник, чтобы компенсировать различия в маргинальных распределениях. Это может включать использование скорректированных весов или методов бутстреппинга, чтобы точно оценить статистическую неопределенность и получить более надежные результаты.
Заключение
В итоговой интерпретации результатов анализа данных из разных регионов важно учитывать, что, хотя условная модель может оставаться неизменной, изменения в маргинальных характеристиках данных могут оказать существенное влияние на оценку параметров. Это требует более осторожного подхода и адаптации используемых методов статистического анализа. Эксперты часто сосредотачиваются на дополнительных проверках согласованности и устойчивости, чтобы обеспечить корректность интерпретаций и выводов, основанных на INID данных.