Вопрос или проблема
У меня есть n k-мерных точек (моделируемых как n k-мерных массивов чисел с плавающей запятой). Я также отсортировал n точек по каждому из их координат. Это дает мне k списков точек.
Из подмножества точек (скажем, m <= n точек), отсортированных по i-й координате, я хотел бы вернуть список тех же точек, отсортированных по их (i+1)-й координате за оптимальное время.
Мои идеи следующие: сортировка подмножества без использования отсортированных списков занимает O(m log m) времени. Если я запишу каждую из m точек на позицию их (i+1)-го порядка и уменьшить структуру, чтобы удалить пустые ячейки, это занимает O(n) времени. Могу ли я сделать это за O(m) времени?
Ответ или решение
Оптимальная сортировка подмножества отсортированного списка точек
В задаче мы имеем n точек в k-мерном пространстве, которые уже отсортированы по всем их координатам. Вам необходимо из подмножества из m (где m ≤ n) точек, отсортированных по i-й координате, получить список тех же точек, отсортированных по (i+1)-й координате. При этом необходимо минимизировать временные затраты.
Проблема
Вы предложили два подхода для решения этой задачи:
- Простая сортировка подмножества – Сложность O(m log m).
- Сортировка с использованием индексов – Описание алгоритма, позволяющего записать m точек по индексам в соответствии с (i+1)-й координатой, что может занять O(n) времени.
Однако основной вопрос заключается в том, можно ли добиться времени O(m), чтобы оптимально выполнять сортировку подмножества.
Оптимальный алгоритм
Для того чтобы решить задачу за время O(m), рассмотрим следующее:
-
Использование отсортированных списков: Поскольку ваши точки уже отсортированы по всем координатам, вы можете воспользоваться этой информацией. Имея список точек, отсортированных по i-й координате, можно использовать алгоритм "сортировки слиянием" (merge sort), чтобы вернуть их в порядке (i+1)-й координаты.
-
Дерево отрезков или KD-дерево: Идея заключается в том, чтобы построить дерево, которое будет хранить подмножество точек в зависимости от значений (i+1)-й координаты. Затем для подмножества m точек можно провести операцию выборки за O(m), учитывая, что точки уже расположены в нужном порядке по i-й координате.
-
Параллельная сортировка: В случае, если m достаточно велико, можно разбить подмножество на несколько частей и выполнять сортировку параллельно, чтобы снизить время обработки.
-
Сортировка по частям: Можно пройтись по отсортированному массиву m точек, упорядоченным по i-й координате, и пометить значения координаты (i+1) в соответствующих ячейках, сохраняя ссылки на исходные точки. Это даст возможность всего за O(m) пройтись по массиву и отсортировать его по (i+1)-й координате.
Заключение
Таким образом, для вашей задачи, использование существующей информации о структуре ваших данных и построение дерева или использование метода сортировки слиянием покажет, что теоретически возможно сделать это за O(m). Рекомендую изучить подходы, связанные с KD-деревьями или специализированными структурами данных, которые помогут вам оптимизировать процесс сортировки подмножеств.