Вопрос или проблема
Что произойдет, если определенный набор данных содержит разные «группы», которые следуют различным линейным моделям?
Например, представим, что, изучая диаграмму рассеяния определенной характеристики $x_i$ против $y$, мы можем увидеть, что некоторые точки следуют линейной зависимости с коэффициентом $\beta_A<0$, тогда как другие точки явно имеют $\beta_B>0$. Мы можем предположить, что эти точки принадлежат двум различным популяциям, популяция $A$ реагирует отрицательно на высокие значения характеристики $x_i$, тогда как популяция $B$ реагирует положительно. Затем мы создаем категориальную характеристику (или одноразовое кодирование), чтобы показать, к какой популяции принадлежит каждая строка.
Необходима ли разбивка набора данных или широко используемые алгоритмы могут распознавать разные отношения между характеристиками из разных категориальных переменных?
На самом деле вы не можете этого сделать, может быть, есть какой-то фактор, который связывает определенные «группы» данных вместе, но этому есть множество причин. Ваша зависимость может быть нелинейной или «группы» данных могут представлять предметы / объекты, между которыми существует более сильная корреляция. Если вы не уверены в том, что эти точки принадлежат разным популяциям, вам не следует этого делать, используйте данные, которые у вас есть, для моделирования этих группировок.
Что касается необозримых групп, вы можете использовать смешанные модели, в вашем случае — смесь линейных регрессионных моделей. Смешанные модели выявляют скрытые (=необозримые) кластеры в данных, так что каждый кластер имеет одни и те же параметры в последующей части модели. Учебный пример — смешанные гауссианы, где каждое отдельное наблюдение происходит из нормального распределения, но среднее значение различно для каждой группы. В вашем случае смешанная модель будет выявлять кластеры индивидов, которые имеют общие коэффициенты регрессии, и оценивать коэффициенты для каждого кластера за один шаг.
Для базового введения смотрите
Grün, B., & Leisch, F. (2008). Конечные смеси обобщенных линейных регрессионных моделей. Последние достижения в линейных моделях и смежных областях (стр. 205-230). Physica-Verlag HD (ссылка)
Конечные смешанные модели требуют спецификации числа скрытых групп (например, знание области или перекрестная проверка). Бесконечные смешанные модели находят хорошее количество групп из данных.
Эти модели обычно не дают вам четких правил, почему индивид принадлежит кластеру, и, следовательно, не могут быть использованы для неизвестных индивидов, но их можно было бы расширить за счет приоритета, который явно моделирует вероятности кластеров на основе наблюдаемых данных.
Варианты включают сегментированную регрессию или регрессию деревьев решений. Оба этих алгоритма способны обучаться предсказывать разные значения целевых переменных в зависимости от значений характеристик.
Ответ или решение
Работа с разнообразными группами в регрессионном анализе
При анализе данных часто сталкиваются с ситуациями, когда набор данных содержит различные группы, следящие за разными линейными моделями. Например, можно рассмотреть две группы: одна группа (популяция A) показывает отрицательную зависимость от определенного признака (x_i) с коэффициентом (\beta_A < 0), тогда как вторая группа (популяция B) демонстрирует положительную зависимость с коэффициентом (\beta_B > 0). В данной ситуации важно понять, как работать с такими различиями в сопоставлении зависимостей и какие методы и подходы лучше всего использовать.
Необходимость разделения данных
Вопрос, стоит ли разбивать набор данных на группы, является предметом обсуждения. Одним из основных моментов является признание того, что распространенные алгоритмы регрессии (например, линейная регрессия) не способны специально распознавать различия между разными категориями без явного указания на это. Если данные действительно представляют собой разные популяции, рекомендуется создать категориальный признак или использовать one-hot кодирование, чтобы идентифицировать, к какой группе относится каждая запись.
Несмотря на это, важно помнить, что не всегда следует разделять данные. В некоторых случаях данные могут представлять собой латентные характеристики, которые необходимо учитывать. Если объединение данных может привести к потере информации о структуре данных, это может привести к неверным выводам.
Использование смесительных моделей
Если мы имеем дело с неявными группами, эффективным подходом являются смесительные модели, например, смеси линейных регрессионных моделей. Эти модели помогают выявить латентные кластеры в данных, позволяя каждой группе иметь свои параметры. В этом контексте каждая индивидуальная запись будет происходить из нормального распределения, но со своими уникальными коэффициентами.
Смесительные модели могут быть как конечными, для которых требуются заранее заданные группы (например, основанные на экспертном мнении или кросс-валидации), так и бесконечными, которые могут определить оптимальное количество групп на основе данных.
Альтернативные методы: сегментированная регрессия и деревья решений
Существует множество методов, позволяющих учитывать различные соотношения между переменными в зависимости от принадлежности к группе. Среди них можно выделить:
-
Сегментированная регрессия: эта техника позволяет моделировать разные линейные зависимости в разных интервалах данных, обеспечивая гибкость в адаптации к различным отношениям.
-
Регрессия на основе деревьев решений: деревья решений могут эффективно моделировать сложные и нелинейные зависимости, позволяя учитывать различные наборы условий и предсказывать различные конечные значения в зависимости от значений явных признаков.
Заключение
Работа с различными группами в регрессионном анализе требует внимательного подхода к выбору методов и толкованию результатов. Распознавание структурных различий в данных может значительно повысить точность модели. Использование смесительных моделей, сегментированной регрессии или деревьев решений предоставляет исследователям возможность выявлять и моделировать скрытые паттерны в данных, что является ключом к более глубокому пониманию сложных зависимостей.