Вопрос или проблема
Пусть X = {1, 2, 3, … , 100}. Пусть H будет классом всех подсетей X, которые содержат как минимум 20 и максимум 80 элементов. Какова VC-измеримость H?
VC-измеримость равна 80.
Множество $C=\{1,\dotsc,80\}$ раздроблено классом $H$:
Пусть $A\subseteq C$. Обратите внимание, что $|A|\leq|C|=80$. Если $|A|\geq20$, то $A\in H$ уже является доказательством. Если $|A|<20$, то $h=A\cup\{81,\dotsc,100\}$ имеет размер от 20 до 39, следовательно, принадлежит $H$, и $h\cap C=A$.
Ни одно множество размера $\geq81$ не раздроблено классом $H$:
Пусть $C$ будет таким множеством, и рассмотрим $\emptyset\subseteq C$. Для любого $h\in H$, так как $|h|\geq20$, мы имеем $|h\cap C|=|h|+|C|-|h\cup C|\geq 20+81-100>0$, поэтому $h\cap C\neq\emptyset$.
Ответ или решение
Определение VC-измерения и его расчет
Введение
VC-измерение (Vapnik-Chervonenkis dimension) — это ключевой концепт в теории машинного обучения и статистической теории, который помогает оценить мощность модели в отношении ее способности обобщать. Для класса множеств ( H ), VC-измерение определяет наибольший размер подмножества ( C ) из пространства ( X ), которое может быть "разрушено" (shattered) классом ( H ).
Проблема
Рассмотрим множество ( X = {1, 2, 3, \ldots, 100} ) и класс ( H ), состоящий из всех подмножеств ( X ), содержащих минимум 20 и максимум 80 элементов. Нам необходимо определить VC-измерение этого класса ( H ).
Шаг 1: Определение разбиваемости
Чтобы класс ( H ) мог измеряться, необходимо, чтобы для любого подмножества ( A \subseteq C ) из ( H ), включающего ( |A| ) элементов, все возможные подмножества могли быть представлены подмножествами из ( H ). Это означает, что для любого подмножества ( A ) размером от 20 до 80 можно найти расслоение, соответствующее этому подмножеству.
Шаг 2: Анализ подмножества
Предположим, что рассмотрим множество ( C = {1, 2, \ldots, 80} ). Размер этого множества составляет 80. Теперь мы можем подтвердить, что это множество может быть разрушено классом ( H ).
-
Если ( |A| \geq 20 ): любое подмножество ( A ) из ( C ) может быть выбрано и сразу же будет принадлежать ( H ), так как оно удовлетворяет условию по размеру.
-
Если ( |A| < 20 ): тогда можно взять множество ( h = A \cup {81, 82, \ldots, 100} ). Размер множества ( h ) будет варьироваться от 20 до 39, так как добавление элементов ( 81 ) до ( 100 ) в подмножество ( A ) приведет к соответствующему количеству элементов для выполнения условия ( 20 \leq |h| \leq 80 ).
Таким образом, множество ( C = {1, 2, \ldots, 80} \ может быть разрушено классом ( H ).
Шаг 3: Ограничение на 81 и более
Рассмотрим множество ( C ) размером 81 или более. В этом случае, независимо от выбора подмножества, любое подмножество из ( H ) содержит не менее 20 элементов. Тем не менее, если ( |C| \geq 81 ), пространство не сможет обеспечить условие ( |h \cap C| > 0), так как в H содержится минимум 20 элементов, а значит, пересечение будет пустым. Следовательно, такие множества не могут быть разрушены классом ( H ).
Вывод
Следовательно, максимальное множество, которое может быть разрушено классом ( H ), имеет размер 80. Таким образом, VC-измерение класса ( H ) равно 80.
Такое представление делается с акцентом на структурированность и качество изложения. Если вам требуется более глубокое обсуждение, дополнительные примеры или другой тип информации, дайте знать!