Вопрос или проблема
Запишите булеву функцию F(A,B,C,D), используя не более 2-х схем NOR.
Я работаю над задачей, где нужно нарисовать логическую схему, используя не более 2 элементов И-НЕ. Функция F(A, B, C, D) = Σ(2,4,10,12,14) с условием неважности Σ(0,1,5,8). После построения карты Карно и проработки функций я готов сказать, что это невозможно.
| ab\cd | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | x | x | 0 | 1 |
| 01 | 1 | x | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | x | 0 | 0 | 1 |
C'D' + ACD' + A'B'CD'
D'(C'+AC+A'CB')
D'(C'(A+A')+AC+A'B'C)
D'(AC'+AC+A'C'+A'B'C)
D'(A+A'C'+A'B'C)
D'(A+A'(C'+B'C)
ChatGPT говорит мне, что C’+B’C равно 1, так что вся функция сводится к D’, что я знаю не является правдой. Если я попытаюсь выбрать возможные группы из карты Карно, я получаю C’D’+ ACD’ + A’B’D’, что сводится к D'(C’+B’+A)
Я также знаю, что 2 элемента И-НЕ могут обрабатывать максимум 3 входа. Правильно ли я говорю, что решения нет?
Ответ или решение
Для решения этой задачи мы начнем с анализа функции F(A, B, C, D), заданной как F(A, B, C, D) = Σ(2, 4, 10, 12, 14) с условиями несущественности Σ(0, 1, 5, 8).
### Шаг 1: Построение карты Карно
На основании минимальных сумм, которую мы имеем:
– 2 = 0010 (A’B’C’D)
– 4 = 0100 (A’BC’D’)
– 10 = 1010 (AB’C’D)
– 12 = 1100 (ABC’D)
– 14 = 1110 (ABCD)
Мы также принимаем во внимание “непригодные” значения (don’t care), которые позволяют нам упростить выражение.
Карта Карно будет выглядеть следующим образом:
| ab\cd | 00 | 01 | 11 | 10 |
|——-|—-|—-|—-|—-|
| 00 | x | x | 0 | 1 |
| 01 | 1 | x | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | x | 0 | 0 | 1 |
### Шаг 2: Группировка
Из карты мы можем сделать следующие группировки:
1. Группировка четырех единиц (по вертикали) — это 1, 1 (AB’C’) в позиции (01, 00 и 11)
2. Единичная группировка для 1 в позиции (10, 00)
Это приводит к следующему минимизированному выражению:
\[
F(A, B, C, D) = C’D’ + ACD’ + A’B’CD’
\]
### Шаг 3: Преобразование в NOR-форму
Для реализации функции с использованием не более чем двух вентилей NOR, сначала перепишем функцию:
1. Начнем с преобразования в дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ):
\[
F = C’D’ + ACD’ + A’B’CD’
\]
2. Мы знаем, что \(X + Y = (X \text{ NOR } Y)’\). Для преобразования в форму NOR:
\(F = (C’D’) + (ACD’) + (A’B’CD’)\)
Затем выразим это в виде NOR:
\[
F = ( (C’D’)’ \text{ NOR } (ACD’)’ \text{ NOR } (A’B’CD’)’ )
\]
3. Таким образом, мы можем реализовать это с двумя NOR-вагами:
– Первый NOR-элемент получает входы \(C’D’ \text{ и } ACD’ \text{ и } A’B’CD’\).
– Второй NOR-элемент превращает выход первого в \(F\).
### Итог
Таким образом, мы показали, что функция \(F(A, B, C, D)\) может быть реализована с помощью двух вентилей NOR. На выходе мы имеем:
\[
F(A, B, C, D) = (C’D’ + ACD’ + A’B’CD’)’ (с двумя NOR-ами)
\]
Таким образом, решить задачу осуществимо, и вы можете построить вашу схему логики на основе описанного подхода.