Вопрос или проблема
Я читал эту статью, где я наткнулся на следующее утверждение в контексте “Почему мы используем сигмоидную функцию активации в нейронных сетях?”:
Предположение о том, что зависимая переменная следует сигмоидной функции, подразумевает, что независимая переменная имеет гауссовское распределение, что является общим распределением, которое мы наблюдаем для многих случайно возникающих событий, и это хорошее универсальное распределение, с которого можно начать.
Может кто-то объяснить эту взаимосвязь между двумя?
Да, конечно, основная идея заключается в том, что сигмоидная функция очень хорошо приближает функцию накопленной плотности вероятности гауссовского распределения. Поэтому, если вход нейрона представляет собой непрерывное гауссовское распределение, вероятность того, что выход будет меньше определенного значения, будет следовать (почти) той же форме, что и сигмоидная функция.
Подробное объяснение можно найти на стр. 16 следующей статьи:
Ответ или решение
Вопрос о связи между сигмоидной функцией и гауссовым распределением часто возникает в контексте нейронных сетей и их активационных функций. Чтобы понять эту взаимосвязь, важно рассмотреть несколько ключевых аспектов.
Основные Понятия
-
Сигмоидная функция:
Сигмоидная функция – это математическая функция, принимающая значения в диапазоне от 0 до 1. Она имеет S-образную кривую и описывается уравнением:
[
S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
]
Это делает её полезной для представления вероятностей, особенно в задачах бинарной классификации. -
Гауссово распределение:
Гауссово (нормальное) распределение – это статистическое распределение, которое описывает множество явлений в природе, таких как рост людей, ошибки измерений и др. Оно характеризуется своей симметричной формой и описывается двумя параметрами: средним (μ) и стандартным отклонением (σ).
Взаимосвязь между Сигмоидом и Гауссом
Основная связь между сигмоидной функцией и гауссовым распределением заключается в том, что сигмоидная функция хорошо аппроксимирует функцию распределения вероятностей (CDF) гауссового распределения. Когда входные данные нейронной сети имеют гауссово распределение, вероятность того, что выходное значение будет меньше определенного порога, следует форме сигмоидной функции.
Это происходит потому, что:
- Гауссово распределение характеризуется его центральной частью, где вероятность наиболее высока, что соответствует области кривая сигмоида, где также наблюдается значительное изменение значений.
- Поскольку сигмоидная функция асимптотически приближается к 0 и 1, она может модели что, когда входное значение сильно отклоняется в одну сторону, вероятность предсказанного класса — близка к 0 или 1.
Применение в Нейронных Сетях
Использование сигмоидной функции в нейронных сетях обосновано её свойствами. Например, она позволяет моделировать вероятностные результаты на выходе нейронов. Когда входы нейронов распределены по гауссовскому закону, выходы сети также будут иметь закономерности, которые можно интерпретировать в терминах вероятностей. Это делает сигмоид подходящим выбором для решения задач классификации, где требуется четкое разграничение между классами.
Заключение
Таким образом, связь между сигмоидной функцией и гауссовым распределением помогает понять, почему активационная функция может быть эффективно использована в контексте нейронных сетей. Важно помнить, что эта активационная функция обеспечивает плавный переход между вероятностями, что делает её идеальным решением для многих задач обработки данных.
Если вас интересуют более глубокие аспекты этой связи, дополнительную информацию можно найти в исследовании о катастрофическом забывании в нейронных сетях.