Вопрос или проблема
Приведение логарифма шансов устанавливает линейность между шансами зависимой переменной и независимыми переменными, устраняя асимметрию в данных? Является ли это одной из причин, по которой мы используем логарифм шансов в логистической регрессии?
Если да, то является ли логарифмическое преобразование значений данных ненужным в логистической регрессии?
Это может привести к линейности, а может и не привести. Если у вас истинная связь, как $\text{logit}\big(\mathbb E[Y\vert X=x]\big) =\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2$, тогда у вас есть совершенно действительная логистическая регрессия, но также вам нужен этот квадратный термин, чтобы хорошо выполнить моделирование.
Преобразование признаков ($X$) — это отдельная проблема по сравнению с функцией связи. Вы можете обнаружить, что связь между преобразованным ожидаемым значением и признаками работает гораздо лучше, когда вы включаете что-то вроде квадратного термина или логарифма. Однако это довольно не связано с асимметрией признаков и должно основываться на комбинации знаний в области и гибкости модели (как это происходит в линейной регрессии).
В частности, GLMs не предполагают, что признаки имеют какое-либо определенное распределение.
Ответ или решение
Влияние логарифмических шансов на скошенные данные
Вопрос, касающийся эффекта логарифмических шансов на скошенные данные, требует глубокого понимания как статистики, так и применения регрессионного анализа. В частности, когда мы говорим о логистической регрессии, стоит рассмотреть, как логарифм шансов может повлиять на линейную зависимость между зависимой переменной и независимыми переменными.
Логарифм шансов и линейность
Логистическая регрессия предполагает использование логит-функции, которая моделирует вероятность события в виде:
[
\text{logit}(\mathbb{E}[Y | X = x]) = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2
]
Это означает, что логарифм шансов действительно может привести к линейной зависимости между лог-вероятностью и независимыми переменными. Однако если реальная зависимость не является линейной (например, содержит квадратичные или другие нелинейные члены), стандартная форма логистической регрессии не будет адекватно описывать моделируемые данные.
Например, если в модели присутствует настоящая квадратичная взаимосвязь, включая ее в модель улучшит соответствие данным. Необходимость учета более сложных соотношений, таких как полиномиальные или логарифмические преобразования, в значительной степени зависит от анализа данных и специфики задачи.
Скошенные данные и трансформация переменных
Скошенные данные часто представляют собой проблему в статистическом анализе, так как могут вводить искажения в оценку модели. Логарифмическая трансформация может помочь привести распределение переменных к более нормальному виду, снижающему скошенность.
Тем не менее, стоит отметить, что применение логарифмического преобразования к независимым переменным — это отдельный процесс, не зависящий от самой логистической регрессии. Методология обобщенных линейных моделей (GLM) не предъявляет требований к распределению переменных. Необходимость в трансформации переменных должна основанной на знании предметной области и стремлении улучшить гибкость модели.
Заключение
Таким образом, хотя логарифм шансов может способствовать линейной зависимости в логистической регрессии, он не всегда устраняет необходимость в трансформациях зависимых и независимых переменных, особенно когда данные имеют сложные или нелинейные взаимосвязи. Важно проводить предварительный анализ данных и оценивать необходимость применения таких преобразований с точки зрения специфики задачи и модели, которую вы используете.
Эти аспекты влияют на интерпретацию модели и ее адекватность, что в конечном итоге играет ключевую роль в успешном анализе данных и принятии бизнес-решений.