Вопрос или проблема
Я хочу получить больше информации о том, является ли k-means с расстоянием Махаланобиса математически/методологически корректным вариантом для наборов данных с различной дисперсией кластеров.
Шаги следующие:
- Создайте агрегированные наборы данных (сначала случайным образом или другим способом, не важно)
- Оцените mu, sigma для каждого агрегированного/кластерного набора данных
- Пересчитайте кластеры, вычисляя расстояние Махаланобиса каждой точки до каждого кластера и обновляя кластеры.
- вернитесь к пункту 2, пока кластеры не изменятся.
Я видел, что это реализовано, также видел это в диссертациях. Тем не менее, что-то не вызывает у меня уверенности.
Нет возможности иметь ‘абсолютно’ лучшее кластеризирование (т.е. силуэтный коэффициент) с расстоянием Махаланобиса.
Можно только оценить ошибку (например, критерий Байеса) вашей модели (разные нормальные распределения) на ваших данных. И вы определенно можете переобучиться.
Является ли это по-прежнему ‘корректным’ с точки зрения кластеризации и методически приемлемым?
Это все еще называется кластеризацией ‘k-means’?
Я предполагаю, что это должно быть корректным, так как я не видел никаких аргументов против этого. Тем не менее, я чувствую себя обязанным спросить, просто чтобы убедиться, прежде чем использовать это.
Большое спасибо.
Это кажется неправильным, потому что есть проблемы с сходимостью. См. здесь
У этого есть тенденция к сбою. С k-means и евклидовой метрикой у вас есть действительно хорошие математические свойства, и вы можете гарантировать сходимость.
Это зависит от случая, в котором вы собираетесь применить кластеризацию. Если ваши исходные распределения – многомерные нормальные, расстояние Махаланобиса может быть полезным. В большинстве случаев k-means комбинируется с евклидовой метрикой. Однако есть случаи, когда евклидова метрика не полезна, например, кластеризация текста, поскольку косинусное сходство, похоже, является подходящей метрикой.
Ответ или решение
Применимость кластеризации k-средних с расстоянием Махаланобиса
Кластеризация с использованием алгоритма k-средних с расстоянием Махаланобиса может представлять интерес в определенных контекстах, особенно когда данные имеют различную дисперсию. Однако необходимо учитывать как преимущества, так и недостатки данного метода, а также его математическую обоснованность.
1. Основные шаги алгоритма k-средних с расстоянием Махаланобиса
Ваш алгоритм включает следующие шаги:
- Создание агрегированных наборов данных (случайно или другим способом).
- Оценка матожидания (μ) и ковариационной матрицы (σ) для каждого агрегатора/кластера.
- Пересчет кластеров на основе расстояния Махаланобиса от каждой точки до кластеров, с обновлением кластеров.
- Повторение второго шага до тех пор, пока кластеры не изменятся.
Эти шаги предоставляют правильный алгоритмический подход для кластеризации, который, однако, нуждается в дополнительной проверке в контексте сходимости и математической устойчивости.
2. Математическая корректность
С точки зрения математической корректности использование расстояния Махаланобиса для кластеризации k-средних можно считать приемлемым, особенно если ваши данные подчиняются многомерному нормальному распределению. Это связано с тем, что расстояние Махаланобиса учитывает корреляцию между переменными и масштабирование данных, что делает его подходящим для выявления кластеров с различной дисперсией.
Однако, важно отметить, что при использовании расстояния Махаланобиса возникает риск сниженной сходимости алгоритма. Исследования, такие как упомянутая вами статья о проблемах сходимости, подчеркивают, что алгоритм может вести себя нестабильно в определенных условиях, что может привести к нежелательным результатам.
3. Оценка качества кластеризации
Вы правильно отметили, что трудно оценить «абсолютно лучший» результат при использовании расстояния Махаланобиса. В отличие от классического k-средних с евклидическим расстоянием, здесь нет универсального критерия оценки, такого как силуэт. Однако подходы, как Байесовский информационный критерий (BIC), могут помочь в оценке адекватности модели, но с учетом риска переобучения.
4. Совместимость с алгоритмом k-средних
Несмотря на изменения в алгоритмической части, в целом подход все еще можно называть k-средними, поскольку сохраняются ключевые принципы алгоритма: вакцинация, обновление центров кластеров и итеративное пересчитывание. Однако правильнее говорить о модификации алгоритма, так как вместо евклидического используется расстояние Махаланобиса.
5. Заключение
Таким образом, использование k-средних с расстоянием Махаланобиса в кластеризации является разумным выбором, но требует осторожности и предварительного анализа распределения ваших данных. Хотя метод методически может быть приемлемым, его применение должно быть обоснованным и проверено на устойчивость. Мы советуем вам провести дополнительные эксперименты и внимательно анализировать результаты, чтобы избежать переобучения и проблем сходимости.
Это решение может быть вполне обоснованным, если вы будете следовать строгим критериям проверки и оценке качества.