Вопрос или проблема
Каково обоснование того, что границы ReLu выглядят линейными при построении в 2D? Обобщается ли это на более высокие размеры, так что границы в больших измерениях также являются линейными гиперплоскостями?
Например, в игровой площадке tensorflow каждый раз, когда ReLu выбирается в качестве функции активации, полученная граница состоит из линий.
Мне не удается увидеть связь между исходными нейронами, которые выдают только z или 0, и тем, как это связано с выходным графиком.
Большое спасибо за любые мысли/помощь!
Насколько я понимаю, ReLu дает линейную границу, потому что она линейна для X>0. Если вы развернете это и запишете в форме уравнения, например Z=f1(x1)+f2(x2)….fn(xn), мы просто получим линейное уравнение, даже если учтем мертвые нейроны. Часть, где x<0, обеспечивает то, что никакие отрицательные сигналы не передаются дальше, но не добавляет никакой нелинейности в окончательное уравнение. Эффект мертвых нейронов вероятно в том, что окончательные коэффициенты уравнения будут иметь коэффициенты с немного меньшими значениями, чем если бы активация была просто нормальной функцией, поскольку нет отрицательной компоненты, которая добавляется к нейрону.
Ответ или решение
Решая вопрос о том, почему границы (boundary lines) активаций ReLu (Rectified Linear Unit) в двумерной проекции представляются линейными, необходимо внимательно рассмотреть некоторые ключевые аспекты нейронных сетей и математических инструментов, которые они используют. Этот анализ также можно распространить на многомерное пространство, где границы становятся линейными гиперплоскостями.
### Понимание функции активации ReLu
Функция активации ReLu определяется следующим образом:
\[
f(x) = \max(0, x)
\]
Это функция, которая возвращает 0 для всех отрицательных значений \(x\) и равна \(x\) для всех положительных значений. Этот простой механизм позволяет сети игнорировать негативные входные данные, что приводит к интересным последствиям в отношении линейности границ решений.
### Линейные границы в двумерном пространстве
Допустим, у нас имеется нейронная сеть с одним скрытым слоем. Каждый нейрон принимает на вход сгенерированные входные данные (например, \(x_1\) и \(x_2\)) и вычисляет взвешенное суммирование, а затем применяет функцию активации ReLu:
\[
z = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b
\]
где \(w_1\) и \(w_2\) — веса, а \(b\) — смещение (bias). После применения ReLu, активированный выход будет равен:
\[
f(z) = \max(0, w_1 x_1 + w_2 x_2 + b)
\]
Теперь, когда мы рассматриваем условия, при которых \(f(z) > 0\), находим, что выход нейрона положителен только если \(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b > 0\). Уравнение \(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b = 0\) определяет линию разделения (boundary line) в двумерном пространстве.
Так как результат этой функции является линейной комбинацией переменных \(x_1\) и \(x_2\), сама линия границы представляется линейной. В то время как для значений, когда \(f(z) = 0\), выход будет постоянен и приводить к тому, что нейрон «умер» или «неактивен», это не добавляет нелинейности в решение.
### Обобщение на многомерное пространство
При масштабировании этого подхода на многомерные данные (например, для \(n\) входных переменных) ситуация остается аналогичной. В общем случае, выход нейрона можно записать как:
\[
f(x) = \max(0, w_1 x_1 + w_2 x_2 + … + w_n x_n + b)
\]
При этом, для нормы выше нуля, граница решения будет определяться линейным уравнением:
\[
w_1 x_1 + w_2 x_2 + … + w_n x_n + b = 0
\]
Таким образом, можно заключить, что на любом многомерном пространстве границы в выходном пространстве будут представляться линейными гиперплоскостями.
### Заключение
Следовательно, связь между активацией нейронов с ReLu и линейными границами в графическом представлении получается через свойства самой функции активации. Несмотря на то что многие нейронные сети могут использовать нелинейные функции активации (как, например, sigmoid или tanh), в случае ReLu мы видим, что границы решений остаются линейными, что делает эту активацию популярной для задач классификации, так как она позволяет моделировать различные линейные разделяющие гиперплохи в многомерных пространствах.
Таким образом, Review следует использовать в тех случаях, когда линейные разделения являются ключевыми для решения поставленных задач, обеспечивая высокую скорость и эффективность обучения.