Вопрос или проблема
Я начинающий, изучающий алгоритмы, и в настоящее время работаю над задачей о нахождении общей суммы кратчайших расстояний в невзвешенном дереве. Вот конкретный сценарий:
Дерево имеет узлы трех разных цветов: красный, желтый и синий. Количество узлов каждого цвета одинаково. Я хочу сопоставить каждый красный узел с синим узлом и найти общую сумму их кратчайших расстояний.
Я проверил предыдущие посты, но видел только вопросы о вычислении расстояния между двумя конкретными узлами. На данный момент я использую BFS для обхода каждого узла, но я застрял на том, как записать несопоставленные красные и синие узлы и эффективно вычислить общие кратчайшие расстояния. Должен ли я использовать динамическое программирование для этого? Я не уверен, правильна ли моя стратегия.
Я был бы очень признателен за любые советы или указания. Заранее большое спасибо!
Закрепите дерево произвольно и выполните поиск в глубину. В каждом узле найдите количество красных и синих узлов в его поддереве, которые еще не были сопоставлены (это можно вычислить напрямую из результатов его детей).
Затем сопоставьте как можно больше узлов (т.е. количество пар здесь равно минимуму количества красных узлов и количества синих узлов). Добавьте количество оставшихся несопоставленных узлов к общей сумме расстояний, так как этим узлам нужно пройти по ребру к родительскому узлу на их пути к сопоставленному узлу.
Это решение имеет сложность O(V + E).
Ответ или решение
Для решения задачи о нахождении минимальной совокупной суммы расстояний между парами узлов в невзвешенном дереве, необходимо следовать структурированному подходу. Рассмотрим, как можно выполнить эту задачу.
Шаги решения
-
Построение дерева: Дерево обычно представляется в виде списка смежности, где каждый узел хранит ссылки на свои соседние узлы.
-
Арбитритетный выбор корня: Выберите произвольный узел в качестве корня дерева. Это будет удобно для выполнения обхода в глубину (DFS) и подсчета количества узлов определенного цвета в поддеревьях.
-
Обход в глубину (DFS): Реализуйте DFS, начиная с корневого узла. На каждом узле вам нужно будет считать количество красных и синих узлов, которые находятся в его поддереве и еще не спарены.
-
Парование узлов:
- Сравните количество красных и синих узлов в текущем узле.
- Максимальное количество возможных пар будет равно минимальному значению между количеством красных и синих узлов. Каждая пара вносит 0 в сумму расстояний, так как они находятся на одном уровне.
- Оставшиеся непарные узлы (если такие имеются) должны будут перемещаться по ребру к родительскому узлу для поиска пары. Это добавляет к общей сумме расстояний количество непарных узлов, умноженное на 1 (расстояние до родителя).
-
Передача информации назад: По мере возврата из рекурсивных вызовов DFS, передавайте информацию о количестве оставшихся непарных узлов вверх по дереву.
Пример реализации на Python
def dfs(node, parent, tree, red_count, blue_count, total_distance):
# Инициализируем количество красных и синих узлов
red = red_count[node]
blue = blue_count[node]
for neighbor in tree[node]:
if neighbor == parent:
continue
r, b, dist = dfs(neighbor, node, tree, red_count, blue_count, total_distance)
# Обновляем количество красных и синих узлов
red += r
blue += b
# Обновляем общую сумму расстояний
total_distance[0] += dist
# Пары узлов
pairs = min(red, blue)
total_distance[0] += abs(red - blue) # Добавляем непарные узлы как единичные расстояния
return red, blue, total_distance[0]
def find_minimum_distance(tree, red_count, blue_count):
total_distance = [0] # Используем список для изменения общей суммы
dfs(0, -1, tree, red_count, blue_count, total_distance) # Начинаем с корня, который индексируется 0
return total_distance[0]
# Пример использования:
# tree = { ... } # Список смежности вашего дерева
# red_count = [0] * n # Создаем массивы для подсчета узлов
# blue_count = [0] * n
# Передаем дерево в функциюЗаключение
Таким образом, описанный алгоритм позволяет вычислить минимальную сумму расстояний между спаренными узлами. Сложность алгоритма составляет O(V + E), где V – количество вершин, а E – количество ребер в дереве. Это решение эффективно, так как использует обход дерева для подсчета необходимых данных.