Вопрос или проблема
У меня есть плотный слой, который преобразует вектор размерности 100 в объект размерности 1 с помощью сигмоидной функции. Я понимаю, как сигмоидная функция преобразует число в число между 0 и 1.
Но я не понимаю, как она преобразует размерность векторов?
Я предлагаю посмотреть серию видео на YouTube от 3blue1brown о нейронных сетях, чтобы лучше понять, что происходит.
Дело не в том, что сигмоидная функция сама по себе преобразует размерность вектора – сигмоидная функция просто используется как функция активации, влияющая на выход каждого отдельного узла – это количество единиц/узлов, которые у вас есть в слое, делает то, что вы описываете.
Если у вас есть только одна единица в выходном слое, он будет выдавать только одно число между 0 и 1. Если у вас есть 100 единиц в плотном слое, он будет выдавать 100 чисел, каждое из которых между 0 и 1.
Не думайте о том, что каждый слой выполняет преобразование размерности ваших данных. Если ваше входное значение 20-мерное, а структура вашей сети состоит из входного слоя, скрытого слоя размерности 100 и выходного слоя размерности 1, как в этом примере:
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
# Определение нейронной сети с использованием Sequential
model = Sequential([
Dense(100, input_dim=20, activation='relu'), # Входной слой с 20 входами и скрытым слоем с 100 нейронами
Dense(1, activation='sigmoid') # Выходной слой с 1 нейроном и сигмоидной функцией активации
])
Первый слой просто принимает входные данные, а второй слой имеет размерность 100. Но обратите внимание, что это преобразование размерности на самом деле не выполняется “в слое”, а между слоями. Это выполняется простым умножением матриц (в данном случае размерности 20×100).
Функция активации применяется только после умножения матриц. Поэтому мы можем записать эту нейронную сеть математически:
$x \in \mathbb{R}^{20}$
$y_1 = Relu(W_1.x) \quad ; \quad W_1 \in \mathbb{R}^{100 \times 20}$
$y_2 = Simoid(W_2.y_2) \quad ; \quad W_2 \in \mathbb{R}^{1 \times 100}$
Где $W_1, W_2$ матрицы представляют шаги слоев, а $y_2$ будет окончательным выходом.
Ответ или решение
Преобразование высокоразмерного вектора в одномерный в Dense слое с использованием функции сигмоида
Вопрос о том, как Dense слой трансформирует высокоразмерный вектор в одномерный объект с использованием сигмоидной функции, имеет важное значение для понимания работы нейронных сетей. Рассмотрим это более подробно.
Основы работы с Dense слоями
Dense слой (полносвязный слой) в нейронных сетях принимает вектор-данные входного слоя и преобразует его в новый вектор, состоящий из значений, который определяется заданным числом нейронов. Например, если вы имеете входной вектор размерности 100, Dense слой может вернуть вектор другой размерности в зависимости от числа нейронов, заданных в этом слое.
Архитектура сети
Рассмотрим пример нейронной сети, которая преобразует вектор размерности 100 в одномерный выход:
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
# Определение нейронной сети с помощью Sequential
model = Sequential([
Dense(100, input_dim=100, activation='relu'), # Входной слой с 100 входами и скрытым слоем на 100 нейронов
Dense(1, activation='sigmoid') # Выходной слой с 1 нейроном и сигмоидной активацией
])Объяснение преобразований
-
Матрицы весов: Когда Dense слой обрабатывает входной вектор, он умножает его на матрицу весов. Для данной сети размером 100-100, матрица весов будет размером ( W_1 \in \mathbb{R}^{100 \times 100} ). Это позволяет создать новый вектор выходных данных размером 100.
-
Применение функции активации: После того как соответствующая матрица была умножена на входной вектор, результатом этого умножения будет 100-мерный вектор. К этому вектору затем применяется функция активации (например, ReLU для скрытого слоя), которая активирует нейроны в зависимости от их значений.
-
Переход к выходному слою: На следующем шаге обработанный вектор передается в выходной слой (в данном случае слой размерностью 1). Здесь предыдущий 100-мерный вектор умножается на матрицу весов другого слоя, ( W_2 \in \mathbb{R}^{1 \times 100} ), что приводит к выходному значению. Результат этого умножения — это одно число, которое затем передается в функцию активации сигмоид:
[
y_2 = \text{Sigmoid}(W_2 \cdot y_1)
]
Здесь сигмоидная функция обеспечивает, что конечный выход будет в диапазоне [0, 1], что идеально подходит для задач бинарной классификации.
Краткий вывод
Сигмоидная функция не изменяет размерность вектора сама по себе — она просто ограничивает диапазон значений. Основная работа по изменению размерности ведется через матричные операции и количество нейронов в выпусках слоев. Понимание этих принципов дает возможность глубже осмыслить работу нейронных сетей и их архитектуры.
Таким образом, в контексте преобразования из вектора 100-мерного пространства в одномерный объект, основную роль играют матричные умножения и архитектура сети, а не активационные функции.