Вопрос или проблема
Предположим, что у нас есть прямой нейронной сети с двумя слоями, и веса каждого слоя ограничены таким образом, что сумма весов является постоянным значением в каждом слое и их значения неотрицательны. Вы можете задаться вопросом, почему мы должны делать такие предположения? Ответ: у меня есть задача оптимизации с неизвестными переменными, которые могут быть сопоставлены с нейронной сетью, где веса представляют мои переменные, именно поэтому. Можете ли вы предложить мне способ обработки этих ограничений? На данный момент я просто интегрировал эти ограничения в функцию стоимости, хотя сделано это не очень хорошо. Я просто добавил ограничения в основную функцию стоимости, используя максимум. Например, когда A(x) < x, я просто добавил его стоимость как max(A(x)/x-1,0) к основной функции стоимости.
Может быть, вместо того, чтобы сопоставлять веса нейронной сети Wi с вашей задачей, сопоставьте Constant * Softmax(Wi) вместо этого для каждого слоя?
Ответ или решение
Обработка мягких ограничений на веса в нейронной сети может быть выполнена несколькими способами. В данной ситуации, где веса каждого слоя должны суммироваться до постоянного значения и при этом быть неотрицательными, важно подходить к решению осмысленно и с учётом математической строгости.
Один из подходов: Нормализация с использованием Softmax
Предлагаемый вами вариант, заключающийся в использовании Softmax, действительно может быть подходящим и даже оптимальным решением. Вот как это можно сделать подробнее:
-
Преобразование весов через Softmax: Вместо того, чтобы непосредственно использовать веса ( W_i ), вы можете определить новые веса как ( W_i^{\text{new}} = C \cdot \text{Softmax}(W_i) ), где ( C ) — это константа, которая задаёт желаемую сумму весов (например, если сумма должна быть равна 1, ( C ) будет равен 1). Это гарантирует, что все веса будут неотрицательными и будут удовлетворять условию нормировки.
-
Обновление весов: Во время обучения вам просто нужно обновлять веса ( W_i ). На каждом шаге градиентного спуска вы будете обновлять исходные веса ( W_i ), а затем преобразовывать их через Softmax для использования в самой нейронной сети.
Модификация функции потерь
Если есть необходимость в добавлении тяжестей, связанных с ограничениями на веса, можно модифицировать функцию потерь таким образом:
- Функция потерь с мягкими ограничениями: Вместо добавления условий в виде функции «max», лучше использовать метод регуляризации. Вы можете добавить штраф за нарушения условий в функцию потерь. Например:
[
\text{Loss} = \text{Original Loss} + \lambda \cdot \text{Penalty}
]
Здесь (\lambda) — это гиперпараметр, контролирующий вес штрафа, а (\text{Penalty}) может быть определён как:
[
\text{Penalty} = \text{max}\left(0, \sum(W) – C\right) + \text{max}(0, -\min(W))
]
Таким образом, вы сможете контролировать соблюдение ограничений на более плавном уровне.
Другие подходы
-
Параметрическая регрессия: Вы можете рассмотреть вариант использования параметрической регрессии для данных, чтобы гарантировать соблюдение условий на основе заранее определённых параметров.
-
Проектирование весов: Используйте технику проектирования, которая будет поддерживать веса в заданном диапазоне, например, использование ReLU для обеспечения неотрицательных весов.
-
Выбор гиперпараметров: Тщательно подбирайте гиперпараметры (например, (\lambda)), чтобы избежать чрезмерного штрафа и при этом обеспечить сильное влияние на обучение.
В заключение, предложенный метод нормализации с использованием Softmax позволяет элегантно обойти ссылочные ограничения на веса сети, сохраняя при этом возможность их оптимизации в процессе обучения. Проведите эксперименты с различными подходами и настройте параметры, чтобы найти наилучшее решение для вашей задачи.