Вопрос или проблема
У меня есть приложение, в котором я (эвристически) создаю большой набор тестовых кандидатов, которые сами по себе представляют собой большие наборы элементов в произвольном порядке. Чтобы не использовать один и тот же тестовый кандидат дважды, я хочу удалить дубликаты из этого набора. В худшем случае это означает, что мне нужно отсортировать все массивы, а затем сравнить n элементов в каждом из m наборов, что даст мне квадратичную сложность.
Пример: у меня есть набор {{0,1}, {2,5,8}, {1,9}, {5,8,2}, {9,1}}, и я хочу сократить его до {{0,1}, {2,5,8}, {1,9}}
Поскольку я все равно работаю эвристически, мне не очень важно, если я случайно удалю несколько тестовых кандидатов, которые не являются дубликатами. Поэтому сейчас я делаю следующее:
- Создаю идентификатор для каждого кандидата {x_0, …, x_n}, используя хэш-функцию и применяя xor, то есть вычисляя hash(x_0) ^ … ^ hash(x_n)
- Сохраняю идентификаторы в наборе и удаляю кандидата, если идентификатор уже присутствует.
Если я правильно понимаю математику, это должно дать мне вероятность 1/(2^k) того, что два неравные набора имеют одинаковый идентификатор, где k — это размер типа хэша.
Итак, мои вопросы:
- Моя математика здесь правильная?
- Есть ли смысл вместо этого использовать другую коммутативную операцию, такую как сумма, или это одно и то же?
- Существует ли лучший способ справиться с этим за n+m?
Ответ или решение
Ваш вопрос о том, как эффективно и статистически мощно удалять дубликаты из множества (неупорядоченных) множеств, имеет несколько аспектов, требующих рассмотрения. Давайте разберем каждую из ваших вопросов.
1. Правильность вычислений
Ваше утверждение о вероятности коллизий хэширования, а именно о том, что существует вероятность 1/(2^k), что два неравных множества имеют одинаковый ID, не совсем корректно. Эта вероятность зависит от конкретного хэш-функции и ключей, которые вы используете. В общем случае, если вы используете хорошую хэш-функцию, вероятность коллизий будет значительно ниже, чем 1/(2^k), но она будет зависеть от распределения входных данных и их объема. Более того, вероятность коллизий увеличивается с увеличением числа хэшируемых элементов, поэтому чем больше наборов вы обрабатываете, тем выше вероятность того, что хэш-коды различных наборов могут совпадать.
2. Использование других коммутативных операций
Что касается использования других коммутативных операций, таких как сумма, то имеет смысл рассмотреть их. Некоторые операции, как, например, сумма, могут привести к увеличению вероятности коллизий, особенно если ваши множества имеют небольшие диапазоны значений. Для уменьшения вероятности коллизий хэширования лучше использовать комбинацию нескольких хэш-функций и альтернативные методы, такие как хэширование на основе множеств (например, применение Bloom filter), которые могут дать полезный результат без необходимости точного хранения всех элементов.
3. Альтернативные подходы
Чтобы обработать данную задачу за O(n + m) времени, можно использовать следующую стратегию:
-
Нормализация множеств: Начните с упорядочивания каждого множества и преобразования его в «нормальную» (где элементы отсортированы) форму, чтобы гарантировать, что одинаковые элементы будут представлены одинаково во всех случаях.
-
Использование структуры данных: Примените хэш-таблицу для хранения нормализованных множеств. Нормализованное множество можно сохранить как строку (конкатенированное представление элементов), и использовать его в качестве ключа в хэш-таблице.
-
Алгоритм:
- Для каждого из входных множеств:
- Отсортируйте элементы.
- Преобразуйте отсортированное множество в строку.
- Если строка уже существует в хэш-таблице, пропустите это множество; если нет — добавьте его в результирующий набор.
- Для каждого из входных множеств:
Эта стратегия позволит вам достигнуть линейного времени работы в зависимости от входных данных, что существенно оптимизирует процесс.
Заключение
Ваш подход с использованием хэширования вполне логичен, но стоит учитывать вероятность коллизий в вашей системе. Рассмотрите улучшенные методы, такие как оценка хэш-функций и использование нормализованных представлений множеств для оптимизации производительности и уменьшения коллизий. Для достижения O(n + m) вы можете использовать сортировку и хэширование одновременно, что имеет смыслы в контексте вашей задачи.