Вопрос или проблема
Дан граф G и другой граф с тем же количеством вершин G’. Можно определить функцию соответствия вершин f, из множества вершин G в множество вершин G’. Функция соответствия f должна быть биективной, и её цель – дать информацию об отношениях между двумя графами. Одним из примеров этого будет два изоморфных графа G и G’, фактический изоморфизм будет служить функцией соответствия вершин.
У меня есть большой набор данных, который я преобразовал в граф, и после преобразования моих данных и добавления некоторого шума, я хотел бы найти «лучшее» соответствие между двумя графами из данных (в каком-то смысле слова “лучший”).
Существуют ли документированные алгоритмы для определения «лучшего» соответствия между вершинами в двух графах? Я полагаю, что также видел, что это называется проблемой соответствия узлов.
Некоторые ссылки можно найти в этом учебном пособии.
.
Ответ или решение
Теория
Задача соответствия вершин или узлов между двумя графами является важной задачей в области теории графов и имеет множество практических приложений, включая сопоставление социальных сетей, интеграцию данных из различных источников, биоинформатику и визуальные задачи. Основная цель заключается в нахождении биективной функции соответствия между множествами вершин двух графов ( G ) и ( G’ ), которая минимизирует различия между этими графами с точки зрения расположения их вершин и связей.
Существуют различные подходы к решению данной проблемы, в зависимости от поставленной задачи:
-
Изоморфизм графов: Если ( G ) и ( G’ ) изоморфны, то задача упрощается до нахождения точного изоморфизма. Это классическая NP-полная задача, но существуют полиномиальные алгоритмы для определенных классов графов, таких как деревья и некоторые планарные графы.
-
Задача о наилучшем соответствии: Если графы не изоморфны из-за добавленных шумов или преобразований, необходимо определить меру соответствия, которая позволяет найти "лучшее" сопоставление, минимизируя либо общую потерь данных, либо отклонения в структуре графов. В этом контексте популярны такие подходы, как оптимизация с использованием Градиентного Спуска, Алгоритмы Программирования в Целых Числах или Эвристические Методы.
-
Статистические методы и машинное обучение: Для решения задачи может быть применен статистико-вычислительный подход, учитывающий вероятностную природу перевода одного графа в другой даже при наличии шума.
Пример
Рассмотрим случай использования штрафной функции Релаксации, где для каждого возможного соответствия вершин ( f(i) \rightarrow f'(j) ) вводится штраф за отклонение от идеальной связи. Таким образом, задача сводится к минимизации суммарного штрафа за все соответствия. На практике часто используется идея линейного программирования или жадного алгоритма для поиска локально оптимального решения за полиномиальное время.
Другой подход заключается в использовании техники глубинного обучения. Например, нейронные сети графов (GNN) могут быть обучены для прогнозирования соответствия вершин на основе обучающего набора данных реальных графов и их оптимальных соответствий. В отличие от традиционного детерминированного программирования, GNN способны обрабатывать большие и сложные графы за счет параллельных вычислений и функции активации.
Применение
В приложениях, требующих точного соответствия графов, таких как анализ социальных сетей или биомедицинские исследования, важен выбор подходящего метода сопоставления, учитывающего возможные искажения и шумы в данных. Например, в биоинформатике графы часто используются для моделирования молекулярных структур или взаимодействий белков. Здесь нахождение соответствия может помочь в распознавании структурных аналогий между белками разного происхождения.
Для анализа социальных сетей может быть полезен метод сопоставления для определения личности или когорт, несмотря на маскирование или нечёткое поведение пользователей в сети. Статистические алгоритмы в соответствии с вероятностной моделью позволяют точно определять соответствие между различными версиями данных пользователя, даже когда связи между узлами могут быть неявными или неформализованными.
Вывод
Подход к решению задачи о соответствии вершин между двумя графами необходимо выбирать, учитывая специфику конкретного применения, объем данных и природу взаимодействий в графах. Алгоритмы, учитывающие вероятностные модели и машинное обучение, часто оказываются более гибким выбором, особенно в условиях неопределенности и шумовых данных. Однако от классических методов не следует отказываться, когда речь идет о точных структурных данных, где точное соответствие может быть вычислено эффективно.