Вопрос или проблема
Я использую небольшой набор данных для ML-проекта, который состоит примерно из 550 образцов. Я занимаюсь бинарной классификацией. Мне сказали взять лапласиан от набора данных, затем выполнить разложение на собственные значения и собственные векторы. Затем отсортировать собственный вектор, соответствующий второму собственному значению, и отличить положительные и отрицательные классы.
Мой вопрос: что значит брать лапласиан от набора данных? Пожалуйста, дайте какое-то руководство. Заранее спасибо.
Ответ или решение
В вашем описании задачи упоминается использование лапласиана в контексте машинного обучения, что обычно связано с техникой, известной как спектральная кластеризация или спектральное разложение. Давайте рассмотрим, что это означает в контексте обработки данных.
Формирование матрицы смежности
Во-первых, чтобы вычислить лапласиан, вам необходимо представить ваш набор данных в виде графа. В таком графе каждый образец данных является узлом, а рёбра между узлами представляют собой некоторую меру сходства между ними. Это часто выражается в виде матрицы смежности ( \mathbf{A} ), где каждый элемент ( a_{ij} ) показывает степень сходства между узлами ( i ) и ( j ).
Построение матрицы Лапласиана
Вероятнее всего, в вашем контексте предполагается использование нормализованного или ненормализованного графового лапласиана. Вот как они вычисляются:
-
Ненормализованный лапласиан: Он определяется как ( \mathbf{L} = \mathbf{D} – \mathbf{A} ), где ( \mathbf{D} ) — это диагональная матрица степеней узлов, ( \mathbf{D}{ii} = \sum{j} a_{ij} ).
-
Нормализованный лапласиан: Основные две версии:
- Симметричный: ( \mathbf{L}_{sym} = \mathbf{I} – \mathbf{D}^{-1/2} \mathbf{A} \mathbf{D}^{-1/2} )
- Ассиметричный: ( \mathbf{L}_{rw} = \mathbf{I} – \mathbf{D}^{-1} \mathbf{A} )
Собственные значения и собственные векторы
После вычисления лапласиана, следующий шаг — это спектральное разложение. Вам необходимо находить собственные значения и собственные векторы лапласиана. Эти собственные векторы и собственные значения будут использоваться для уменьшения размерности и выделения информативных признаков, как указано в вашей задаче.
Конкретно, eigenvector, соответствующий второму наименьшему eigenvalue (известный как вектор Фидлера), часто используется для разделения данных на разные классы или группы. Сортируя элементы этого вектора и анализируя знак значений, можно выделить группы данных.
Дифференциация классов
Этот метод особенно полезен для сегментации кластеров в данных, и в вашей задаче предположительно предлагается отличать положительные и отрицательные классы путем анализа знаков элементов второго собственного вектора.
Заключение
Таким образом, "взятие лапласиана данных" означает создание графа данных, вычисление соответствующего лапласиана и проведение спектрального разложения для анализа структуры данных. Это позволяет выявить внутренние закономерности, которые помогают разделить данные на классы в ваших задачах классификации.
Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная консультация, не стесняйтесь обращаться за помощью.