Вопрос или проблема
У меня есть некоторое представление о том, как будет работать обратное распространение для функции потерь, такой как:
loss=summation(predicted-true)^2
Где predicted и true — векторы одинаковой длины и одна и та же операция применяется ко всем элементам.
Теперь, в задаче локализации объектов, элемент $0^{th}$ выходного вектора моей нейронной сети будет обозначать вероятность того, что определенный объект находится на изображении, а остальные 4 будут говорить о границах контура. Теперь моя функция потерь будет выглядеть примерно так:
loss=CategoricalCrossentropy(pred[0],true[0])+MSE(pred[1:4]-true[1:4])
Эта функция потерь отлично заработала в tensorflow, и моя нейросеть локализовала объект, как я и ожидал.
Моя проблема заключается в том, что я не могу понять, как математически будет происходить дифференцирование, когда разные операции применяются к различным элементам.
Разные операции на разных элементах не препятствуют дифференцированию.
Допустим, мы назовем вашу функцию потерь:
$$\mathcal L=L_1(\mathbf w) + L_2(\mathbf w)$$,
где $\mathbf w$ представляет веса вашей модели, $L_1$ и $L_2$ — это две функции потерь, которые вы определили, используя различные выходы вашей модели. Ключевой момент заключается в том, что математически мне не важно, какой выход вы использовали для нахождения $L_1$ или $L_2$, важно лишь то, что обе они каким-то образом зависят от весов модели.
Таким образом, если наша цель — дифференцировать, мы просто получаем (предполагая, что все в нашей модели дифференцируемо):
$$\frac{\partial\mathcal L}{\partial\mathbf w} = \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf w}+\frac{\partial L_2}{\partial \mathbf w}$$
Ответ или решение
Ваша проблема заключается в понимании процесса дифференцирования функции потерь, когда разные операции применяются к различным элементам выходного вектора. Это весьма распространённый случай в задачах машинного обучения, включая локализацию объектов.
Давайте рассмотрим вашу функцию потерь, выразив её как:
\[
\mathcal{L} = L_1(\mathbf{w}) + L_2(\mathbf{w}),
\]
где \(\mathbf{w}\) — это веса вашей модели, а \(L_1\) и \(L_2\) — это две отдельные функции потерь для первого элемента (которая использует категориальную кросс-энтропию) и для остальных элементов (где применяется среднеквадратичная ошибка). Этот подход не только математически корректен, но и широко используется в практических задачах.
Теперь, чтобы получить градиенты вашей функции потерь относительно весов модели, вам нужно просто продифференцировать каждую из частей:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} = \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{w}} + \frac{\partial L_2}{\partial \mathbf{w}}.
\]
Здесь важно отметить, что каждый элемент выхода вашей модели может использовать свою собственную функцию потерь, и это не повлияет на возможность выполнения дифференцирования. Каждый компонент функции потерь \(L_1\) и \(L_2\) будет зависеть от тех же весов \(\mathbf{w}\), поскольку выход вашей нейронной сети является функцией этих весов.
### Пример
Пусть у вас есть следующее:
– \(y_{\text{true}}[0]\): истинная категория (например, метка объекта)
– \(y_{\text{true}}[1:4]\): истинные координаты ограничивающего прямоугольника
Тогда вы можете записать вашу функцию потерь следующим образом:
\[
L_1 = \text{CategoricalCrossentropy}(\text{pred}[0], y_{\text{true}}[0]),
\]
\[
L_2 = \text{MSE}(\text{pred}[1:4], y_{\text{true}}[1:4]).
\]
При необходимости дифференцирования вы можете использовать правило суммы:
– Для \(L_1\) вы можете вычислить градиент:
\[
\frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{w}} = \text{(градиент для дискретного класса)}
\]
– Для \(L_2\):
\[
\frac{\partial L_2}{\partial \mathbf{w}} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (pred[i] – true[i])^2 \right).
\]
И затем вы суммируете эти градиенты, чтобы получить общий градиент для обратного распространения:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} = \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{w}} + \frac{\partial L_2}{\partial \mathbf{w}}.
\]
Таким образом, ваше понимание дифференцирования разделённых функций потерь с помощью весов является корректным и, что более важно, распространённым способом в обучении нейронных сетей. Главное — это обеспечить дифференцируемость каждой отдельно взятой функции потерь и правильно объединить их в общий градиент для обновления весов.