- Вопрос или проблема
- Ответ или решение
- Ответ на вопрос о дифференцируемой функции потерь для задачи ранжирования в модели регрессии
- 1. Альтернативные дифференцируемые функции потерь
- 1.1. Регрессия на основе потерь рангов
- 1.2. Потери на основе убытка Хубера
- 2. Аппроксимация функции ранга
- 2.1. Дифференцируемые приближения функции ранга
- Заключение
Вопрос или проблема
В задаче регрессии нам может потребоваться функция потерь для измерения относительной точности ранжирования между целевыми значениями $y$ и предсказанными значениями $y_{pred}$. Очевидно, что простая MSE не учитывает такие ранговые отношения.
Прямым выбором является так называемый коэффициент информации (IC)
$$IC\propto corr(\text{rank}(y), \text{rank}(y_{pred}))$$
который использует корреляцию между двумя рангами. Однако функция rank не является дифференцируемой, поэтому её нельзя использовать в функции потерь для регрессии, которая использует градиентное распространение для обновления параметров.
Другим вариантом может быть измененная парная функция потерь, разработанная для регрессии
$$\text{Loss}=\sum_{i, j} \text{max}(0, -(y_{pred}^{(i)}-y_{pred}^{(j)})\cdot(y^{(i)}-y^{(j)}))$$
которая была предложена в этой статье [https://www.cc.gatech.edu/~zha/papers/fp086-zheng.pdf]. Эта функция является дифференцируемой, но также трудной для обучения.
Мои вопросы: (1) Существуют ли другие дифференцируемые функции потерь, которые можно применить в задаче ранжирования с помощью модели регрессии; (2) Можно ли аппроксимировать функцию rank дифференцируемой функцией.
Одним из вариантов является использование стандартного оформления, как обучение для ранжирования относительных позиций, таким образом парная функция потерь.
Ответ или решение
Ответ на вопрос о дифференцируемой функции потерь для задачи ранжирования в модели регрессии
В задачах регрессии действительно существует необходимость использовать функции потерь, которые учитывают относительную точность ранжирования между целевыми значениями ( y ) и предсказанными значениями ( y_{\text{pred}} ). Простая среднеквадратичная ошибка (MSE) не может быть использована для этих целей, так как она не учитывает относительных позиций значений.
1. Альтернативные дифференцируемые функции потерь
Поскольку функция корреляции рангов (( IC )), основанная на функции ранга, недифференцируема, необходимо рассмотреть другие подходы, которые могли бы служить в качестве функции потерь, учитывающей ранжирование. Один из таких подходов — использование усовершенствованной парной функции потерь, которая применима к задаче регрессии. В частности, можно рассмотреть следующие автоматы:
1.1. Регрессия на основе потерь рангов
Одним из вариантов является использование функции потерь на основе разности предсказанных значений:
[
\text{Loss} = \sum{i,j} \max(0, -(y{\text{pred}}^{(i)} – y_{\text{pred}}^{(j)}) \cdot (y^{(i)} – y^{(j)}))
]
Эта функция потерь позволяет нам учитывать относительные различия между парами примеров, что является важным для задач ранжирования. Однако, как упомянуто, эта функция может быть сложной для тренировки и требует дополнительных доработок и методов оптимизации.
1.2. Потери на основе убытка Хубера
Еще одним вариантом является использование функции потерь, основанной на убытке Хубера, которая совмещает MSE и MAE. В таких случаях, вы можете адаптировать функцию таким образом, чтобы использовать ранжированные группы:
[
L\delta(y, y{\text{pred}}) =
\begin{cases}
\frac{1}{2}(y – y{\text{pred}})^2 & \text{if } |y – y{\text{pred}}| < \delta \
\delta \cdot (|y – y_{\text{pred}}| – \frac{1}{2} \delta) & \text{otherwise}
\end{cases}
]
Эта функция потерь может быть модифицирована для учета относительных ошибок между парами объектов.
2. Аппроксимация функции ранга
Чтобы сделать функцию ранга дифференцируемой, можно использовать одну из следующих техник:
2.1. Дифференцируемые приближения функции ранга
Одним из подходов является использование дифференцируемого аппроксирующего метода, такого как сигмоидная функция. Например, можно использовать:
[
\text{Rank}(y) \approx \text{SoftRank}(y) = \frac{1}{1 + e^{-\alpha(y – \mu)}}
]
где ( \alpha ) — параметр, контролирующий крутизну. Такой подход позволяет нам аппроксимировать процесс ранжирования и использовать градиентный спуск для оптимизации.
Заключение
В целом, для задачи ранжирования в контексте регрессионных моделей стоит рассмотреть как существующие дифференцируемые функции потерь, так и методы апроксимации функций ранга. Эти методы позволят эффективно реализовать обучение с учетом ранговой информации и улучшить точность предсказаний моделей. Рассматривая сложные и нестандартные функции потерь, важно также уделять внимание стабильности и скорости сходимости при оптимизации, чтобы сделать подход практическим на реальных данных.