Вопрос или проблема
Мой вопрос следующий:
Известно, что LSTM может запоминать последовательности в формате one-hot кодировок, которые представляют целые числа (т.е. выводить $x_1, … x_n$ после получения $x_1, … x_n$ в качестве входных данных, $x_k \in \{0,1\}^m$, где $m$ – это количество различных целых чисел).
Теоретически, возможно ли, чтобы LSTM научилась запоминать последовательности вещественных чисел (которые можно выразить в конечном числе бит), например, если $x_t \in \mathbb{R}$?
Задача, о которой я беспокоюсь, намного проще – я просто хочу вывести первый входной элемент $x_1$ после прочтения всей последовательности $x_1, … x_n$. Я провел несколько небольших экспериментов с $x_t \in \mathbb{R}$, используя квадратичную ошибку. Кажется, что есть некоторый уровень успеха, однако результаты не очень интерпретируемы (когда я смотрю на веса). Может ли кто-то пролить свет на это, в частности:
- Существует ли такая конфигурация весов? (вопросы, следующие за этим, предполагают, что она существует)
- Если да, то что это за конфигурации и если нет, то почему?
Модель LSTM задается следующим образом:
Входные, забывающие и выходные ворота:
$$f_t = \sigma(W_f [h_{t-1}, x_t] + b_f)$$
$$i_t = \sigma(W_i [h_{t-1}, x_t] + b_i)$$
$$o_t = \sigma(W_o [h_{t-1}, x_t] + b_o)$$
И внутреннее состояние $c_t$ и скрытое состояние $h_t$:
$$c_t = f_t * c_{t-1} + i_t * \text{tanh}(W_c[h_{t-1}, x_t] + b_c) $$
$$h_t = o_t * \text{tanh}(c_t)$$
Как запрашивалось, это задание вопроса:
Описание задачи памяти
Рассмотрим следующую задачу: учитывая входную последовательность из $n$ чисел, мы хотим получить систему, которая после прочтения этой последовательности вернет первое число в последовательности. То есть, имея входную последовательность: $(x_1, x_2, \cdots x_n)$, $x_i \in \mathbb{R}$, система должна вернуть, в момент времени $t=n$ после “прочтения” последнего входного $x_n$, первый входной $x_1$.
- Учитывая вышеуказанную задачу, рассмотрите описанные выше рекуррентные модели (RNN/LSTM/GRU). Какая из этих архитектур может (теоретически) выполнять вышеописанную задачу? При ответе на этот вопрос, пожалуйста, рассмотрите простую однослойную модель RNN/GRU/LSTM с одномерным входом $x_t$, скрытым и выходным слоем размером $32$, за которой следует преобразование в одномерный конечный выход, который должен предсказать $x_0$.
Каждый раз, когда ответ положительный, укажите активности ворот и веса, которые обеспечат желаемое поведение. Каждый раз, когда ответ отрицательный, докажите, что не существует таких параметров, что произвольная входная последовательность может быть преобразована для получения первого символа, прочитанного.
Добро пожаловать на сайт! Если вы имеете в виду серию чисел, как те, что вы получаете в результате токенизации/NLP, то да, LSTM вполне может с этим справиться без особых проблем. Если вы говорите о гораздо большем диапазоне, то, возможно, вам стоит рассмотреть сценарий, где вы масштабируете ваши входные данные.
Ответ или решение
Вопрос, поставленный в форме задания, касается способности архитектуры сети LSTM (Long Short-Term Memory) запоминать последовательности вещественных чисел, а именно — возвращать первый элемент последовательности после того, как была прочитана вся последовательность. Давайте глубоко погрузимся в эту проблему с использованием теории, примеров и их применения.
Теория
Архитектура LSTM была разработана для решения проблемы исчезающего градиента в RNN (Рекуррентных нейронных сетях). Главная сила LSTM заключается в трех элементах – входных, забывающих и выходных воротах, которые управляют потоком информации через внутреннее состояние (cell state), делая возможным запоминание информации на продолжительное время.
- Входные ворота ((i_t)) определяют, какая часть входных данных актуальна для обновления состояния.
- Забывающие ворота ((f_t)) регулируют, сколько информации из текущего состояния нужно сохранить.
- Выходные ворота ((o_t)) контролируют, какую информацию нужно передать наружу.
Эти ворота заданы формулами:
[ f_t = \sigma(Wf [h{t-1}, x_t] + b_f) ]
[ i_t = \sigma(Wi [h{t-1}, x_t] + b_i) ]
[ o_t = \sigma(Wo [h{t-1}, x_t] + b_o) ]
Внутреннее состояние обновляется следующим образом:
[ c_t = ft \ast c{t-1} + i_t \ast \text{tanh}(Wc[h{t-1}, x_t] + b_c) ]
[ h_t = o_t \ast \text{tanh}(c_t) ]
Таким образом, теоретически LSTM может запомнить первое число, хранить его в нечитаемой форме в своем внутреннем состоянии и затем извлечь его в нужный момент, если правильно настроить параметры весов и смещений.
Пример
Рассмотрим пример задачи. Допустим, у нас есть последовательность (x = (0.1, 0.2, 0.3, \ldots, 0.9)), и нам нужно вернуть первый элемент (x_1 = 0.1) после чтения всего (x). Для этого мы можем обучить LSTM на многих подобных последовательностях, минимизируя среднюю квадратичную ошибку между спрогнозированным первым элементом и реальным.
При помощи градиентного спуска мы можем найти такой набор весов и смещений, которые минимизируют эту ошибку, тем самым демонстрируя, что LSTM может взять на себя такую задачу.
Применение
Однако, применение на практике требует учета некоторых аспектов:
-
Масштабирование входов: Если диапазон вещественных чисел широкий, рекомендуется масштабировать данные, например, в диапазоне ([-1, 1]).
-
Длина последовательности: LSTM хорошо работает с последовательностями небольшой и средней длины. Для очень долгих последовательностей понадобится либо увеличение числа ячеек в слое, либо использование архитектур с улучшенными способностями запоминания, таких как Transformer.
-
Выбор функции потерь: Квадратичная функция потерь, использующаяся в экспериментах, может быть корректной для задачи, где важен точный прогноз числа. В других случаях можно рассмотреть использование альтернатив, таких как Huber Loss для управления выбросами.
-
Осмотр весов: Интерпретация весов обычно трудна, так как нейронные сети, включая LSTM, действуют как "черные ящики". Тем не менее, визуализация и анализ весовых распределений могут дать некие идеи о том, какие входные признаки сети важнее других.
Заключение
Таким образом, теоретически LSTM способна решить задачу запоминания первого элемента последовательности вещественных чисел, а практическое выполнение задачи будет зависеть от настройки параметров обучения и предобработки данных. Надежность решений и эффективность могут быть повышены за счет оптимизации параметров модели и использования подходящих методик машинного обучения для заданной задачи.