Вопрос или проблема
Начнем с a).
Для первого узла: 0 * x1 + 1 * x2 + 1 > 0 (0, потому что порог 0), что эквивалентно x2+1 > 0.
Для второго узла: x1 * 1 + x2 * 0 + 1 > 0 (0, потому что порог 0), что эквивалентно x1 + 1 > 0.
Для третьего узла: x1 * 1 + x2 * 1 + 1 > -1 (-1, потому что порог -1. Я, возможно, неправильно понял это, так как в задании говорится “Круги указывают на пороговые узлы с порогом на нуле…”), что эквивалентно x1 + x2 > -2.
Затем я рисую эти линии. Все ли правильно до сих пор? Однако я не могу понять, как решить b) Как мне учесть смещение на выходном узле?
Это данное решение (но я не понимаю, как они к нему пришли):
Спасибо!!
То, что вы считали порогами, на самом деле, похоже, являются весами на ребрах от передающих узлов. По крайней мере, это делает линии согласованными с теми, что на графике.
Я дал некоторые подсказки к той же проблеме на Нарисуйте (от руки) границу решения нейронной сети; для затенения обратите внимание на выход каждого скрытого нейрона в каждом регионе и подставьте их в выходной нейрон.
Ответ или решение
Границы решений нейронной сети
Границы решений нейронной сети (или decision boundaries) представляют собой линии (в 2D) или гиперплоскости (в многомерном пространстве), которые разделяют различные классы в пространстве признаков. Для понимания границ решений нейронной сети важно учесть как архитектуру сети, так и веса, связанные с нейронами.
1. Определение границ решений
В задаче, описанной вами, мы имеем дело с несколькими нейронами (единицами) в скрытом слое, которые имеют свои весовые коэффициенты (weights), а также пороговые значения (thresholds). Рассмотрим каждую единицу и как они взаимодействуют друг с другом, чтобы определить общую границу решения.
-
Первая единица:
Уравнение:
( 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 1 > 0 )
Это можно упростить до ( x_2 + 1 > 0 ) или ( x_2 > -1 ).
Это означает, что вся область выше прямой ( x_2 = -1 ) будет активирована этой единицей. -
Вторая единица:
Уравнение:
( x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + 1 > 0 )
Упрощая, получаем ( x_1 + 1 > 0 ) или ( x_1 > -1 ).
Эта единица активируется для всех значений ( x_1 ) правее прямой ( x_1 = -1 ). -
Третья единица:
Уравнение:
( x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 1 + 1 > -1 )
Упрощая, получаем ( x_1 + x_2 > -2 ).
Эта единица активируется для области выше прямой ( x_1 + x_2 = -2 ).
После графического отображения этих линий мы можем увидеть, что они разделяют пространство признаков на различные области, каждая из которых будет иметь свои выходные значения от скрытых нейронов.
2. Включение выходного нейрона
На следующем этапе нужно учесть входные значения от скрытых нейронов на выходной нейрон. Например, предположим, что выходной нейрон имеет следующую форму:
[
y = w_1h_1 + w_2h_2 + b
]
где ( h_1 ) и ( h_2 ) — выходные значения первых двух скрытых нейронов, ( w_1 ) и ( w_2 ) — их веса, а ( b ) — смещение (bias) выходного нейрона.
3. Учёт смещения
Чтобы учесть смещение, нам необходимо также обратить внимание на его влияние на границы решений. Смещение может изменить расположение границ. Например, если мы добавим положительное смещение, это передвинет границы решений вверх, а если отрицательное — вниз.
Результирующая граница решений будет составлена из всех известных границ двух нейронов с учетом весов для выходного нейрона и его смещения.
Для графического отображения итоговых границ решений нужно будет сочетать результаты активации всех нейронов и их воздействия на выходной нейрон. Границы, где выходной нейрон меняет своё состояние, и будут нашими границами решений.
Заключение
Границы решений нейронной сети можно рассматривать как мощный инструмент для визуализации решений, принятых моделью. Понимание, как скрытые нейроны и их веса, а также смещение выходного нейрона влияют на эти границы, позволяет более эффективно управлять обучением и оптимизацией нейронной сети. Обратите внимание, что для точного построения границ решений необходимо экспериментировать с различными значениями весов и смещений, чтобы увидеть, как они формируют различные зоны предсказаний в пространстве входных признаков.