Вопрос или проблема
Я не понимаю, как сложные сети с множеством параметров/размерностей могут быть представлены в 3D пространстве и формировать стандартную поверхность затрат, так же как простая сеть с, скажем, 2 параметрами.
Например, сеть с 2 параметрами, которые соответствуют осям X и Y соответственно, и функция затрат, которая соответствует оси Z, имеет смысл… но как мы можем иметь сеть с 1000 размерностями, представленной в 3D пространстве на плоскостной поверхности затрат (не уверен, что слово “плоскостной” используется правильно). Я неправильно думаю о размерностях в сети?
Да, вы думаете о множестве размерностей неправильно, но я не уверен, что кто-то знает правильный способ думать о них.
Вы не представляете сложные сети с множеством параметров в 3D пространстве. Мы начинаем в низкоразмерных 2D и 3D пространствах, чтобы развить интуицию о том, что происходит с градиентом, как двигаться вдоль него и так далее. Затем мы переходим в тысячи размерностей, где мы не знаем, что происходит, и мы применяем нашу интуицию – эти пространства работают так же, но мы не можем их визуализировать или понять.
Ваша функция затрат будет иметь тысячи размерностей, и ваш градиент будет таким же. Но мы полагаемся на нашу интуицию из низкоразмерных пространств, чтобы манипулировать ими.
Вы можете взглянуть на метод визуализации градиента, предложенный в этой статье:
Мы представляем простой метод визуализации, основанный на “нормализации фильтров”. Острота минимизаторов хорошо коррелирует с ошибкой обобщения, когда используется эта нормализация, даже при сравнении различных архитектур сети и методов обучения. Это позволяет проводить параллельные сравнения различных минимизаторов.
С их методом вы можете получить 2D/3D визуализации ландшафта потерь, например:
Это может помочь вам понять их градиент, как различные архитектурные элементы влияют на него и как различные алгоритмы оптимизации навигируют по нему.
Ответ или решение
Интуитивное объяснение представления градиента в многомерных пространствах
Когда мы говорим о представлении градиента в пространствах высокой размерности, часто возникает путаница в восприятии этих измерений и их визуализации. Давайте разберемся, как мы можем понять это сложное понятие.
1. Понимание многомерности
В первую очередь, важно отметить, что мы не можем наглядно представить многомерные пространства свыше трех измерений. Тем не менее, это не означает, что такие пространства не существуют или что мы не можем работать с ними. Мы можем использовать математику, чтобы описать многомерные функции и градиенты, основываясь на нашем интуитивном понимании низкоразмерных пространств.
Каждый параметр в модели машинного обучения можно представить как ось в многомерном пространстве. Например, в модели с 1000 параметрами, у нас будет 1000 измерений. В этом контексте, функция стоимости (или функция потерь), которую мы пытаемся минимизировать, будет иметь 1000 измерений, где каждое измерение соответствует одному из параметров модели.
2. Функция стоимости и градиент
Представим себе ситуацию в двумерном пространстве. Если у нас есть две переменные ( x ) и ( y ), то функция потерь ( Z = f(x,y) ) может быть визуализирована как поверхность в трехмерном пространстве. Градиент этой функции, обозначаемый как ( \nabla f(x,y) ), указывает направление самого быстрого увеличения функции и направлен перпендикулярно уровневым линиям на поверхности.
Когда мы переходим к пространству с тысячами измерений, хотя визуально это и выглядит сложно, идеи остаются такими же. Градиент в 1000-мерном пространстве не теряет своего смысла; он продолжает указывать направление, в котором функция увеличивается быстрее всего.
3. Интуитивное восприятие
Для того чтобы развить интуицию в многомерных пространствах, исследователи часто начинают с визуализации функций в более низких размерностях. Это позволяет лучше понять, как работают градиенты и как алгоритмы оптимизации перемещаются по поверхности потерь. Используя такие методы визуализации, как «нормализация фильтров», как предложено в работе, упомянутой вами, можно создать 2D и 3D представления ландшафта потерь, которые дают представление о том, как разные архитектуры нейронных сетей и методы оптимизации взаимодействуют с этим пространством.
4. Процесс оптимизации
Во время оптимизации, независимо от количества параметров, мы исходим из начальной точки и движемся по направлению, указываемому градиентом, чтобы уменьшить функцию потерь. Хотя мы не видим это в реальном времени из-за высокой размерности, алгоритмы, используемые для минимизации, работают аналогично известным двумерным или трехмерным примерам. Например, методы градиентного спуска следуют тому же принципу: они используют текущий градиент для определения следующего шага.
Заключение
Хотя визуализация сложных многомерных функций – это непростая задача, понимание концепций градиента и потерь на базовом уровне закладывает основу для работы в высокоразмерных пространствах. Ваше интуитивное восприятие градиентов из 2D- и 3D-примеров остается верным и актуальным, когда речь идет о сложных моделях с тысячами параметров. В конечном счете, трудности восприятия многомерного пространства можно преодолеть с помощью математики и специфических методов визуализации, которые помогают нам видеть, как наши алгоритмы обучаются и оптимизируются.