Вопрос или проблема
У меня есть два набора данных: первый набор set1=[2,2,2,4.5], а второй набор set2=[2,1.5,2,4.5,2.5]. Если я построю их распределения, для set1 получится:
для set2 будет:
Я бы сказал, что set2 имеет более широкое распределение, и поэтому я бы ожидал более высокую дисперсию. Однако это не так. На самом деле, если я рассчитываю, в Matlab, var(set1)=1.5625 и var(set2)=1.3750.
Почему так?
Я понял, что дисперсия является мерой ширины распределения, поэтому я ожидал, что set2 будет иметь большую дисперсию, поскольку у вас более широкий диапазон изменчивости для значений x.
ИЗМЕНЕНИЕ
Действительно, если мы вычислим разницу между максимальным и минимальным значением выборки X для set2: Xmax-Xmin=4.5-1.5=3; разница между максимальным и минимальным значением выборки X для set1: Xmax-Xmin=4.5-2=2.5.
Я бы сказал, что дисперсия пропорциональна максимальному расстоянию между точками…
Дисперсия в основном означает разброс данных вокруг среднего в распределении. Более высокая дисперсия указывает на то, что точки данных более рассеяны, что приводит к более широкому разбросу в графике распределения. В зависимости от типа распределения дисперсия может варьироваться. В статистических терминах дисперсия – это квадрат стандартного отклонения. Стандартное отклонение измеряет, насколько далеко каждая точка данных отклоняется от среднего, поэтому дисперсия отражает общий разброс данных от среднего. Эта взаимосвязь объясняет, почему дисперсия часто описывается как степень, до которой точки данных разбросаны.
Теперь, в ответ на ваш вопрос о наборах 1 и 2, второй набор не имеет более широкого распределения (разброса, дисперсии), потому что есть точка (2.5) между 2 и 4.5, однако в наборе 1 распределение (разброс, дисперсия) шире или выше, потому что разрыв между двумя точками, т.е. 2 и 4.5, шире.
Ответ или решение
Когда мы обсуждаем связь между дисперсией выборки и максимальным расстоянием между её значениями, важно учитывать, что дисперсия не всегда пропорциональна максимальному расстоянию. Давайте рассмотрим вашу ситуацию более подробно.
Определение дисперсии и ее значения
Дисперсия (variance) — это статистическая величина, которая отражает, насколько далеко данные от среднего значения (mean). Она рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений каждой выборки от её среднего. Это даёт нам понимание о "разбросе" данных вокруг среднего.
Для выборок, которые вы привели:
- set1 = [2, 2, 2, 4.5]
- set2 = [2, 1.5, 2, 4.5, 2.5]
Были рассчитаны следующие значения дисперсии:
- Дисперсия set1 = 1.5625
- Дисперсия set2 = 1.3750
Почему дисперсия set2 меньше, несмотря на более широкое рассеяние значений?
Несмотря на то, что set2 имеет большее максимальное расстояние (разница между 4.5 и 1.5 составляет 3), вариация данных внутри каждого набора тоже играет важную роль.
-
Сравнение отклонения от среднего: В первом наборе (set1) значение 4.5 значительно отклоняется от среднего (2.375), что приводит к большему вклады в расчёт дисперсии. В то же время, во втором наборе (set2) значения 1.5 и 2, находясь ближе к среднему (2.5), уменьшают вклад в суммирование квадратов отклонений.
-
Структура данных: В set2 значения распределены более равномерно, что также уменьшает общий разброс. То есть, хотя максимальная разница между значениями велико (до 3), значения на самом деле не так сильно отклоняются от среднего, как в set1.
Заключение и выводы
Следует подчеркнуть, что дисперсия не всегда пропорциональна максимальному расстоянию между выборками. За её пределами существует ряд факторов, таких как расстояние значений от среднего и их равномерное распределение, которые существенно влияют на общее значение дисперсии.
Таким образом, в анализе данных важнее фокусироваться на вероятностной структуре выборок, а не только на максимальном расстоянии. Каждый набор данных уникален и требует индивидуального подхода для корректной интерпретации статистических показателей.