Вопрос или проблема
Существует ли стандартный/часто используемый/удобный эквивалент сигмоидальной функции с двумя порогами?
Предпосылки
При написании правдоподобия данных для задачи бинарной классификации часто параметризуют вероятность принадлежности к классу с помощью сигмоидальной функции:
$$
P(y=1|x,a,b)=\frac{1}{1+e^{-ax-b}}, P(y=0|x,a,b)=\frac{1}{1+e^{ax+b}},
$$
что примерно соответствует правилу классификации
$$
y=\begin{cases}
1\text{ если } ax+b>0\Leftrightarrow x > -\frac{b}{a},\\
0\text{ если } ax+b<0\Leftrightarrow x < -\frac{b}{a},
\end{cases}
$$
то есть мы сравниваем предсказательную переменную с единым порогом $\mu=-\frac{b}{a}$
Цель
Теперь я хотел бы иметь гладкое представление, соответствующее классификации с двумя порогами:
$$
y=\begin{cases}
1\text{ если } \mu < x<\nu,\\
0\text{ если } x<\mu \text{ или } x>\nu
\end{cases}
$$
Варианты
Некоторые из возможных вариантов, которые приходят на ум:
произведение сигмоид
$$
P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{a(x-\nu)}}\frac{1}{1+e^{-b(x-\mu)}}
$$
разность сигмоид
$$
P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-a(x-\nu)}}-\frac{1}{1+e^{b(x-\mu)}}
$$
сигмоида с более сложным аргументом
$$
P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{a(x-\nu)(x-\mu)}}
$$
Интересно, используется ли один из этих вариантов или какое-то другое представление для таких задач классификации, и каковы потенциальные преимущества или недостатки.
Ответ или решение
Функция сигмоиды с двумя порогами представляет собой сложную задачу в области машинного обучения и статистики, так как она требует создания вероятностной модели, способной плавно отражать принадлежность классу в интервале между двумя точками. Такой подход может быть полезен в различных контекстах, где требуется более высокая степень гибкости при классификации.
Теория
В традиционной бинарной классификации, функция сигмоиды используется для преобразования линейной комбинации предикторов в вероятность принадлежности классу. Стандартная форма функции сигмоиды:
[
P(y=1|x,a,b)=\frac{1}{1+e^{-ax-b}}
]
этой функции соответствует текущему сценарию с одним порогом, где прогнозируемая переменная сравнивается с фиксированным значением (\mu=-\frac{b}{a}).
Однако, если необходимо ввести два порога для классификации, уровни сложности возрастают. Необходимость использования двух порогов может возникнуть, например, в случае более сложных моделей с промежуточными состояниями. Теперь мы рассматриваем задачу определения такой вероятности:
[
y=\begin{cases}
1, \text{ если } \mu < x < \nu,\
0, \text{ если } x < \mu \text{ или } x > \nu
\end{cases}
]
Примеры
Для представления этой задачи в виде плавного соотношения вероятностей можно использовать несколько подходов:
- Произведение сигмоид. Этот подход использует две функции сигмоид для создания "окна", где рассматриваемое значение переменной будет иметь ненулевую вероятность:
[
P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{a(x-\nu)}}\frac{1}{1+e^{-b(x-\mu)}}
]
- Разность сигмоид. Использование разности позволяет определить область между двумя порогами:
[
P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{-a(x-\nu)}}-\frac{1}{1+e^{b(x-\mu)}}
]
- Сложный аргумент сигмоиды. Этот метод включает усложненный аргумент в функцию сигмоиды:
[
P(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{a(x-\nu)(x-\mu)}}
]
Применение
Каждый из представленных подходов имеет свои плюсы и минусы, которые могут подходить или нет для различных задач. Рассмотрим их подробнее:
-
Произведение сигмоид: Этот метод удобно использовать, когда нужно четко определить начало и конец интервала, где вероятность возрастает. Таким образом, подход более легок в интерпретации, но может столкнуться с проблемой численной нестабильности, особенно при очень высоких или низких значениях ( x ).
-
Разность сигмоид: Представляет более гибкий вариант, где можно создавать плавный переход, но риск состоит в возможных численных погрешностях из-за вычитания близких по величине чисел. Это может привести к потенцианльно не стабильной модели для больших значений ( x ).
-
Сложный аргумент сигмоиды: Этот метод реализует двойную границу путем использования произведения линейных выражений. Это может быть легко вписано в существующую архитектуру нейронной сети, но интерпретация параметров становится менее очевидной.
Поскольку каждый метод имеет свои достоинства и недостатки, выбор подхода должен основываться на конкретных требованиях задачи и природе данных. Например, для системы, где важна высокая точность интервалов, возможно стоит предпочесть произведение сигмоид. В то время как для более общей задачи с плавными переходами, разность может быть более подходящей.
Определение наилучшего метода требует экспериментирования по отношению к конкретным стандартам производительности, включая точность, стабилизацию обучения и временной отклик. Также следует учитывать такие технические аспекты, как потребность в дополнительных вычислениях и адаптация гиперпараметров.
Выводом при выборе метода является готовность адаптироваться и постоянно тестировать различные подходы и гипотезы, что является ключевым в современной аналитике данных и разработки моделей машинного обучения.