Вопрос или проблема
У меня есть следующая проблема: у меня есть некоторые данные (которые я не могу опубликовать здесь, но они в виде точек с координатами XYZ), и я могу представить их как коллекцию графов, то есть $Q = \{G_1, G_2 … G_t\}$, где для каждого узла есть соответствующий набор характеристик, например, у узла $u_i$ есть вектор признаков $\mathcal{F}_i$, и характеристики меняются между графами (но структура графа не меняется). В результате получившиеся графы выходят большими по размеру при таком подходе. Поэтому я решил уменьшить графы, укоротив некоторые из узлов и рёбер. И я хотел бы вычислить, сколько информации я теряю, когда упрощаю графы по сравнению с неупрощёнными графами или исходными данными. Я хотел бы получить что-то наподобие “Этот граф объясняет 77% дисперсии в данных”, а укороченные графы “Этот граф объясняет 55% дисперсии в данных”.
Вопрос заключается в следующем:
Как определить, сколько информации я теряю, когда упрощаю структуру данных графа.
Редактировать: Также вектор признаков можно заменить на взвешенные рёбра. Думаю, это может немного упростить решение задачи.
Сравнение графов может быть сложным.
Один из вариантов – подход с точки зрения теории информации, что-то вроде “Информационно-теоретический подход ко всем уровням для сравнения сетей“
Как бы вы упростили граф? Это важно знать, потому что в конечном итоге вам придётся сравнить граф. Одна из вещей, которые вы можете сделать, это измерить плотность графа. Это высокоуровневая, общая идея. Вы можете поискать в интернете. Дисперсия сама по себе является плотностью с точки зрения теории графов. https://www.quora.com/What-is-graph-density
Ответ или решение
Чтобы определить, сколько информации теряется при упрощении структуры графа относительно неупрощенного графа, важно следовать систематическому подходу. Задача сочленяет несколько аспектов: представление данных в виде графов с узлами и их характеристиками, а также идея схлопывания графа за счет удаления некоторых узлов и рёбер.
Анализ потери информации при упрощении графов
-
Изучение характеристики исходных и упрощённых графов:
- Исходные графы описываются множеством точек с XYZ координатами и вершинами, имеющими специфические векторные особенности (\mathcal{F}_i). Это подразумевает возможность глубокого анализа на уровне отдельных характеристик, связанных с вершинами.
- При упрощении, отбрасываются некоторые узлы и рёбра. Чтобы количественно оценить утрату информации, необходимо сосредоточиться на изменении структуры и содержимого графа.
-
Использование информационной теории:
- Применение методов из теории информации может помочь в моделировании потерь. Исследование "An information-theoretic, all-scales approach to comparing networks" предлагает перспективные инструменты для количественной оценки потерь информации при работе с сетями.
- Сравнение энтропии исходного и упрощённого графов позволит численно оценить степень упрощения. Например, разница в энтропии может указать, сколько информации потеряно.
-
Оценка дисперсии и плотности графа:
- Дисперсия в контексте графов тоже может быть полезным критерием — определяется насколько структура и её элементы разнятся между двумя разными представлениями графа.
- Понятие плотности графа, как обсуждается в предоставленных ссылках, может предложить простой метод оценки таллинности: плотные графы имеют больше рёбер, в сравнении с числом возможных рёбер, и удаление рёбер приводит к изменению данной метрики.
-
Пересчёт характеристик узлов в взвешенные рёбра:
- Если характеристики вершин можно передать через вес рёбер, то это может упростить дальнейшее упрощение. Весовые рёбра помогут сохранить часть информации, относящейся к характеристикам, в сжатом виде.
Рекомендации по выполнению оценки:
- Изначально внедрите метрики, которые были бы репрезентативны вашим данным и задаче, будь то энтропия, плотность или другие показатели.
- Сравните метрики между исходной и упрощённой моделью графа: "Этот граф объясняет 77% дисперсии данных" и "Этот упрощённый граф объясняет 55% дисперсии данных". Эти данные покажут, сколько функционала было утрачено при упрощении.
- Обратитесь к статическим и динамическим тестам — возможно ли провести симуляции или моделирование на обеих версиях графа и сравнить их результативность.
Работа с графами требует комплексного подхода, включающего детальное изучение как топологической, так и информационной составляющей структуры. Исследования и методы, предложенные выше, обеспечат глубокое понимание на сколько графовая модель теряет определённые аспекты и как это влияет на вашу задачу анализа данных.