Как продемонстрировать, что две переменные ортогональны относительно вывода в трехмерном Python-наборе данных?

Содержание

Вопрос или проблема
Ответ или решение
Теория
Пример
Применение

Вопрос или проблема

У меня есть набор данных на Python с 300 образцами и 3 столбцами: 2 независимые целочисленные переменные X,Y и зависимая непрерывная переменная F (выход).

Переменная X может принимать только 3 значения, но Y может принимать до 1024 различных значений. На основе моего образца я хочу продемонстрировать, что если X=x0 минимизирует выход для данного Y=yi, т.е. x0=argmin_x F(x,yi), так что F(x0,yi)<F(x1,yi)<F(x2,yi), то F(x0,yj) < F(x1,yj) < F(x2,yj) для всех значений y=yj.

Как я могу это сделать? Я думал о преобразовании значений в вероятности и проведении проверки гипотезы, но не совсем уверен, какой тест реализовать и как в Python.
Спасибо

Вы можете сделать это довольно легко с использованием библиотек pandas или numpy, точно программируя каждый шаг.

Например: (псевдокод для 2 упорядоченных значений)

x0 = 100000
x1 = x0 + 1

for i in range(0,len(y)):
   x_temp = F(x,  y[i])
   if x0<x_temp and x0<x1:
      x0=x_temp

   if x0>x_temp:
      x1 = x0
      x0 = xtemp

Если вы хотите более точный код, я рекомендую добавить небольшой образец данных к вашему вопросу.

Ответ или решение

Демонстрация ортогональности двух переменных относительно выходной переменной в трехмерном наборе данных Python – это задача, которую можно решить с помощью статистического анализа и программирования. В вашем наборе данных содержатся 300 образцов и три столбца: две независимые целочисленные переменные X и Y, а также зависимая переменная F, которая является непрерывной. Задача заключается в том, чтобы показать, что если существует какое-либо значение X=x0, минимизирующее F при заданном Y=yi, тогда этот порядок минимизации сохраняется для всех возможных значений Y.

Теория

Ортогональность переменных: В математике и статистике ортогональность переменных может интерпретироваться как независимость или отсутствие корреляции. Если две переменные ортогональны, изменение одной не влияет на другую относительно общей зависимости (в нашем случае – переменной F).
Определение минимизации: Условие x0=argmin_x F(x,yi) подразумевает, что при заданном Y=yi переменная X принимает значение x0 таким образом, чтобы F(x0,yi) была минимальной среди F(x1,yi) и F(x2,yi).
Распределение и проверка гипотез: Чтобы проверить, сохраняется ли этот порядок для всех Y=yj, можно использовать статистические методы. Один из подходов – сравнить распределения и провести проверку гипотезы о сохранении порядка через тесты, такие как критерий рангов Вилкоксона или другие параметрические и непараметрические тесты, применимые к порядковым данным.

Пример

На практике для выполнения такой аналитической задачи в Python можно использовать библиотеки numpy и pandas, которые обеспечивают мощные средства для работы с данными и статистическими моделями.

import numpy as np
import pandas as pd

# Пример создания данных
data = pd.DataFrame({
    'X': np.random.choice([0, 1, 2], size=300),
    'Y': np.random.randint(0, 1024, size=300),
    'F': np.random.random(size=300)
})

# Группировка данных по значению Y для анализа зависимости F от X в каждом подмножестве
grouped = data.groupby('Y')

# Функция для проверки соблюдения порядка F(x0,yi) < F(x1,yi) < F(x2,yi)
def check_orthogonality(group):
    # Сортировка по F
    sorted_group = group.sort_values('F')
    # Проверка порядка
    x_values = sorted_group['X']
    return (x_values.iloc[0] == 0) and (x_values.iloc[1] == 1) and (x_values.iloc[2] == 2)

# Применение функции ко всем группам
results = grouped.apply(check_orthogonality)

# Проверка систематичности отношения
orthogonal_consistency = results.all()
print(f"Ортогональность переменных по отношению к F сохраняется во всех группах Y: {orthogonal_consistency}")

Применение

Статистическая интерпретация: Если выводы показывают, что порядок сохраняется для всех значений Y, можно утверждать, что переменные X и Y демонстрируют некий уровень независимости в терминах их воздействия на переменную F. Если порядки сохраняются, это может указывать на структурированность данных, где Y не изменяет порядок влияния X на F.
Генерализация выводов: В реальной практике важно учитывать дополнительные аспекты, такие как шум в данных и апробирование моделей на более широких выборках. Если выводы будут подтверждены на различных подвыборках и в реальных применениях, можно делать более уверенные генерализирующие выводы.
Анализ и оптимизация: Понимание того, как два входных параметра взаимодействуют для минимизации функционала, позволяет сделать шаг к оптимизации процессов или систем, где применяются данные X и Y. Это особенно актуально для задачи оптимизации производственных или технологических процессов, где критично минимизировать определенные издержки или максимизировать эффективность.

Методология, представленная здесь, подойдёт для проведения первоначального анализа. Далее могут быть применены более сложные модели машинного обучения и анализ чувствительности для глубокой интеграции этих открытий в бизнес-процессы.