Вопрос или проблема
Я имею дело с моделированием небольших экспериментальных наборов данных. Поскольку большинство экспериментальных работ не генерируют тысячи образцов, а скорее всего лишь несколько, мне нужно быть изобретательным в том, как справляться с этим небольшим количеством данных (скажем, 10-20). Я разрабатывал хороший каркас для этого, и на данный момент мне интересно сгенерировать погрешности с предсказанными значениями.
В общих чертах, вот что происходит в каркасе (например, при применении многолинейной модели):
- Создайте ансамбль из $N$ наборов данных.
- На каждом наборе данных регрессия порождает (линейную) модель, как дано в уравнении 1 ниже. Это порождает $N$ значений для каждого из коэффициентов $\beta$.
- Рассчитывается среднее для каждого из трех наборов $\beta$. (Среднее также может быть другой функцией, но пока предположим, что это среднее)
- Эти три средних $\beta$ являются коэффициентами модели, которые будут использоваться (снова уравнение 1).
- Цель: найти предсказательный интервал (PI) для модели в уравнении 1, учитывая тот факт, что коэффициенты $\beta$ рассчитаны из числовых распределений.
Так, например, возьмем следующую модель множественной линейной регрессии:
$$
y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 \tag{1}
$$
и я ищу алгебраическое уравнение для численного вычисления предсказательного интервала (PI) для нового предсказания $y_0$ (Доверительный интервал также был бы приемлем, поскольку он связан с PI).
Пока что мои поиски смогли предоставить мне только ответы, касающиеся статистической природы набора данных ($x_i$). Они предоставляют мне компонент ошибки:
$$
\hat{V}_f=s^2\cdot\mathbf{x_0}\cdot\mathbf{(X^TX)^{-1}}\cdot\mathbf{x_0^T} + s^2 \tag{2}
$$
который можно использовать для расчета PI через:
$$
y=y_0 \pm t_{\alpha/2,n-k}\cdot\sqrt{\hat{V}_f} \tag{3}
$$
В отличие от этих примеров, каждый из коэффициентов модели ($\beta_0, \beta_1$ и $\beta_2$) в данном случае имеют оценку погрешности (извлеченную с помощью бутстреппинга из распределения, причем распределения являются числовыми, а не аналитическими, и распределения специфичны для каждого из трех коэффициентов). Существует ли способ учесть неопределенность $\beta_i$ (т.е. “оценки погрешности”) при расчете PI и CI?
Примечание:
Я знаю, можно создать ансамбль различных экземпляров модели с $\beta_i$, выбранными из их соответствующих распределений, и на основе распределения полученного $y_0$ рассчитать CI $y_0$, но это не очень эффективно с точки зрения вычислений и порождает множество других проблем, которых я хотел бы избежать.
Одно из возможных решений — бейсовская линейная регрессия. Бейсовская линейная регрессия оценивает апостериорное распределение для каждого коэффициента. Из этого апостериорного распределения можно вычислить доверительный интервал.
Ответ или решение
Интеграция неопределенности коэффициентов модели в прогнозный интервал множественной линейной регрессии представляет собой важную задачу, особенно в случае работы с малыми экспериментальными наборами данных. В таких ситуациях статистическая неопределенность параметров регрессии может существенно влиять на точность прогноза, что нужно учитывать при расчете предсказательных интервалов (PI).
Исходная задача
У вас есть несколько наборов данных, для каждого из которых вы строите регрессионную модель. Это приводит к получению множества значений коэффициентов (\beta). Затем вы рассчитываете среднее значение коэффициентов и строите итоговую модель с этими средними значениями.
Прогнозный интервал
Для определения прогнозного интервала учитывается статистическая природа данных с использованием формулы:
[
\hat{V}_f = s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot \mathbf{(X^TX)^{-1}} \cdot \mathbf{x_0^T} + s^2
]
А затем сам PI:
[
y = y0 \pm t{\alpha/2,n-k} \cdot \sqrt{\hat{V}_f}
]
Включение неопределенности коэффициентов
Одним из способов включения неопределенности коэффициентов (\beta) является применение Байесовской линейной регрессии. Этот подход позволяет оценивать апостериорное распределение для каждого коэффициента, из которого можно вывести доверительный интервал (credible interval), принимающий во внимание неопределенность каждого из коэффициентов, в том числе и тех, которые извлечены из бутстрэп-репликаций.
Предложенное решение
-
Байесовский Подход: Применение байесовской линейной регрессии дает вам возможность расчета вероятностных интервалов для каждого коэффициента (\beta). Это позволяет учитывать их неопределенность в общих предсказаниях модели. Используя такие подходы, как Markov Chain Monte Carlo (MCMC), можно оценить распределение коэффициентов и через него сам PI.
-
Алгоритмическая Оптимизация: Поскольку вычислительная эффективность ключевая, ориентируйтесь на алгоритмы, которые способны быстро собирать статистику распределений. Применение современных вычислительных библиотек, таких как TensorFlow Probability или PyMC3, позволяет оптимально решать такие задачи.
-
Аналитическое Приближение: Если байесовский подход кажется чрезмерным, рассмотрите возможность использования аналитических методов для аппроксимации влиющего эффекта распределений коэффициентов (\beta), например, с помощью линейного расширения предсказательной функции.
Заключение
Адаптация с учетом неопределенности коэффициентов в предсказательных интервалах позволяет повысить надежность ваших прогнозов. Применение байесовских методов или схожих статистических подходов может значительно улучшить качество оценок и увеличить доверие к построенной модели. Выбор метода следует делать, исходя из доступных ресурсов и допустимого уровня вычислительной нагрузки.
На SEO-оптимизацию влияет актуальность подходов, их статистическая обоснованность и практичность применения в условиях ограниченного объема данных.