Вопрос или проблема
У меня есть набор задач вида $\text{min} \|Ax-y\|_1$ с некоторыми ограничениями на $x_i$. Быстрый поиск показывает пакеты cvxpy, scipy.optimize и pyomo.environ. Какой из них имеет наилучший баланс между лаконичным определением проблемы и скоростью выполнения?
Я могу сделать это на другой платформе, но мне нужно на Python. Например, с
$A$
[[9.020656341904537, 9.05638588847761, 5.850654153832747, 7.825354360792511, 7.68054617392734],\
[8.951287916930344, 8.348358334674362, 7.199349598864747, 9.715320144427697, 9.988683994212106],\
[6.129161380647484, 9.231488085310017, 8.048848956776144, 6.855278438910625, 5.961441567122391]]
и $y$ =
[100, 100, 100]
и минимальные и максимальные границы для $x_i$ =
[[2.1055760036738236, 1.4816363955470813], \
[2.3537948073947996, 1.600394673120251], \
[4.434106972916148, 2.35004064806864], \
[2.1779161331372263, 1.5170949985628575], \
[4.048845780173668, 2.2372167006342556]]
Я могу получить $x$ как
[2.1055758336242474, 2.3537948174586325, 4.434106958603555, 1.5393177230762531, 2.2372164252357996]
Однако это было сделано не с помощью Python.
.
Ответ или решение
Для решения задач выпуклой оптимизации в Python существует несколько популярных пакетов, таких как cvxpy, scipy.optimize и pyomo.environ. Каждое из этих решений обладает своими преимуществами и недостатками. Давайте проанализируем их, чтобы найти оптимальный вариант для вашей задачи, которая заключается в минимизации выражения (|Ax-y|_1) при наличии ограничений на переменные (x_i).
1. cvxpy
Преимущества:
- Удобство использования:
cvxpyпредоставляет очень интуитивно понятный интерфейс для формулирования задач линейного программирования и выпуклой оптимизации. Использование этого пакета позволяет явно задавать целевую функцию и ограничения в виде математических выражений. - Поддержка различных типов задач:
cvxpyподдерживает как линейные, так и нелинейные оптимизационные задачи, что может быть полезно в будущем, если ваши требования изменятся. - Расширяемость и интеграция: Из-за своей архитектуры
cvxpyлегко интегрируется с другими библиотеками и инструментами Python.
Недостатки:
- Скорость: Для более сложных задач решение может занять больше времени по сравнению с другими библиотеками, особенно при большом количестве переменных и ограничений.
2. scipy.optimize
Преимущества:
- Скорость и эффективность:
scipy.optimizeиспользуется для решения задач оптимизации, которые могут быть быстрее, чем аналогичные задачи, решенные с использованиемcvxpy, особенно если вы используете простые функции потерь и классические алгоритмы оптимизации. - Комплексный подход: В
scipyимеется множество алгоритмов, включая градиентные методы и метод Ньютона, что может быть полезно в зависимости от задачи.
Недостатки:
- Сложность в определении задачи: Определение задач в
scipyможет потребовать больше строк кода и более сложного программирования, особенно при наличии ограничений.
3. pyomo.environ
Преимущества:
- Мощные возможности для моделирования:
pyomoособенно мощен для решения сложных задач оптимизации и может работать с большими моделями. - Поддержка для различных решателей:
pyomoпозволяет использовать множество различных решателей для решения ваших задач, что может быть значительным плюсом.
Недостатки:
- Сложность и время обучения: API
pyomoможет быть сложнее для понимания и требует времени на изучение по сравнению сcvxpy.
Рекомендация
Учитывая ваши требования, включая интуитивную форму записи и скорость выполнения, наилучшим выбором будет использование пакета cvxpy. Он предоставляет баланс между простотой формулирования задач и функциональностью, что позволяет легко задавать условия и целевую функцию.
Вот пример кода с использованием cvxpy для вашей задачи:
import cvxpy as cp
import numpy as np
# Данные
A = np.array([[9.020656341904537, 9.05638588847761, 5.850654153832747, 7.825354360792511, 7.68054617392734],
[8.951287916930344, 8.348358334674362, 7.199349598864747, 9.715320144427697, 9.988683994212106],
[6.129161380647484, 9.231488085310017, 8.048848956776144, 6.855278438910625, 5.961441567122391]])
y = np.array([100, 100, 100])
n = A.shape[1]
# Переменная x
x = cp.Variable(n)
# Ограничения
bounds = [[2.1055760036738236, 2.4816363955470813],
[2.3537948073947996, 1.600394673120251],
[4.434106972916148, 2.35004064806864],
[2.1779161331372263, 1.5170949985628575],
[4.048845780173668, 2.2372167006342556]]
constraints = [x[i] >= bounds[i][0] for i in range(n)] + [x[i] <= bounds[i][1] for i in range(n)]
# Целевая функция
objective = cp.Minimize(cp.norm1(A @ x - y))
# Проблема
problem = cp.Problem(objective, constraints)
# Решение
problem.solve()
# Результаты
print("Оптимальное значение x:", x.value)Этот код иллюстрирует, как можно легко сформулировать задачу минимизации, используя cvxpy, и задает ограничения на переменные (x_i). С использованием этого пакета вы получите не только короткий и лаконичный код, но и высокую вероятность быстрой и точной оптимизации.