Каково толкование квадратных функций?

Я работаю с книгой Прикладное предсказательное моделирование и столкнулся с чем-то, что оказалось немного запутанным.

В ней обсуждалось добавление нелинейности в модель для улучшения её подгонки – этот момент мне понятен.

Например: $x^2 + 2x – 4$

Какая интерпретация этих значений?

Когда мы используем просто обычную линейную регрессию или многомерную регрессию, мы говорим, что коэффициенты, такие как 2, подразумевают их относительную важность по сравнению с другими признаками, включенными в модель. Однако, что это означает в контексте квадратных функций?

Т.е. Эффективность топлива автомобиля на основе 2 Замещения + Замещение$^2$ – 4

Что конкретно означает квадрат замещения?

Любая помощь будет очень полезна.

Спасибо.

$Замещение$ дает нам “линию”, которую можно подогнать под данные. Чтобы получить больше свободы, добавьте $Замещение^{2}$, который является “кривой”. Это добавляет гибкости – с тем же признаком/переменной – для отображения данных. Пожалуйста, обратитесь к страницам 90, 91 книги “Введение в статистическое обучение на R” – Хасти, Тибширани.

В общем, я бы сказал, что в статистике (и тем более в математике) имеет смысл лишь до некоторой степени искать интуитивное понимание всего. Иногда это лишь вызывает головную боль, в то время как может быть гораздо легче просто воспринимать что-то, скажем, как функцию, такой, какая она есть: функция. Вы подставляете числа и получаете что-то на выходе (хорошо, это не совсем формальное определение, но я надеюсь, что это передаст мою мысль).

Сказав это, для уравнения

$эффективность = 2 замещения + замещения^2$

(пренебрегая $-4$ для простоты) вы на самом деле можете найти интуитивную перспективу: Квадратное уравнение предполагает, что эффективность увеличивается “больше, чем просто линейно” с увеличением числа замещений.

Если у вас есть автомобиль $а$ с $замещения_a = 2$ и автомобиль $б$ с $замещения_b=4$, тогда в линейном случае:

$эффективность = 2 замещения$

эффективность автомобиля $а$ будет в два раза больше, чем эффективность автомобиля $б$.

Но, предполагая вышеупомянутое квадратное соотношение, означает, что число $замещений$ дополнительно увеличивает $эффективность$ за счет квадратного члена. Теперь $эффективность$ автомобиля $б$ будет втрое больше эффективности автомобиля $а$!

Таким образом, как вы можете видеть на этом простом примере, в квадратном случае любое изменение значения $замещений$ оказывает большее влияние на $эффективность$. А квадратный член просто математически определяет это “больше”.

Ваше выражение, обозначающее относительную важность таких переменных, неверно. Также необходимо упомянуть, что предсказательная переменная стандартизирована (центрирована на нуле и со стандартным отклонением 1), чтобы сделать это более убедительным аргументом.

Лично я так не думаю. Если вы обсуждаете это на форуме по науке о данных, нас интересует только то, какова связь между эффективностью и топливом. Таким образом, мы начинаем с предположения $$эффективность = a \cdot замещение^2 + b\cdot замещение + c$$ и как мы можем найти такие $a,b,c$ и может ли квадратное соотношение подойти, которое также могло бы хорошо обобщиться на наши данные. Имеет ли смысл эта связь – зависит от людей, обладающих лучшей доменной экспертизой для её интерпретации.

Ссылка на важность предсказательных переменных

Автор вопроса спрашивает о интерпретации квадратного члена, однако другие ответы, по моему мнению, выглядят несколько поверхностно, поэтому вот моя попытка дать более полное объяснение.

Интерпретация квадратных членов в линейной регрессии

Квадратные члены в регрессионной модели описывают нелинейные зависимости между предиктором $x$ и результатом $y$. Общая форма регрессионной модели с квадратным членом:

$$
y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \epsilon
$$

где $\epsilon$ – это ошибка.

Ключевые моменты интерпретации

1. Роль квадратного члена

• Квадратный член $x^2$ вводит кривизну в модель, позволяя наклону зависимости варьироваться в зависимости от $x$.
• Коэффициент $\beta_2$ определяет кривизну:
  • $\beta_2 > 0$: U-образная (выпуклая).
  • $\beta_2 < 0$: Обратная U-образная (вогнутая).

2. Наклон и точка перегиба

• Наклон $y$ по отношению к $x$ составляет:

  $$
  \frac{dy}{dx} = \beta_1 + 2\beta_2 x
  $$

  Этот наклон изменяется линейно с $x$, что указывает на то, как эффект $x$ на $y$ ускоряется или замедляется.

• Точка перегиба (вершина) происходит, когда наклон равен нулю:

  $$
  x = -\frac{\beta_1}{2\beta_2}
  $$

  В этой точке $y$ достигает максимума или минимума, в зависимости от знака $\beta_2$.

3. Практический пример

Рассмотрим ту же модель, что и в вопросе, где я использую $x$ для замещения и $y$ для эффективности топлива: $$y = x^2 + 2x – 4$$:

• Линейный член $2x$ предполагает, что эффективность изначально увеличивается с увеличением замещения.
• Квадратный член $x^2$ вводит точку, где наступают уменьшенные доходы.
• Связь является U-образной (выпуклой), с минимальной эффективностью при $x = -1$. Очевидно, что это не имеет смысла, что подчеркивает ряд вещей, в том числе, что экстраполяция должна проводиться с крайней осторожностью.

Альтернативы квадратным членам

Квадратные члены эффективны для простых кривых, но могут не уловить более сложные тренды. Альтернативные методы включают:

1. В-сплайны/натуральные сплайны:

   • Предлагают гибкое и плавное моделирование для нелинейных зависимостей.
   • Снижают риск переобучения при лучшем контроле над кривизной.

2. Обобщенные аддитивные модели (GAM):

   • Подгоняют плавные, нелинейные зависимости без предварительного задания формы кривой.
   • Используют штрафы, чтобы предотвратить переобучение, обеспечивая лучшее обобщение.

Избежание переобучения

Введение квадратных или нелинейных членов увеличивает сложность модели. Чтобы уменьшить переобучение:

• Используйте методы регуляризации, такие как гребневая или лассо-регрессия.
• Проверяйте модели, используя перекрестную проверку или тестовый набор данных.

В заключение

Квадратные члены – мощный инструмент для моделирования простых нелинейных зависимостей. Однако более гибкие методы, такие как сплайны или GAM, могут быть предпочтительнее для захвата сложных кривизны.

Ссылки

1. Хасти, Т., Тибширани, Р. и Фридман, Дж. (2009). Элементы статистического обучения. Springer.
2. Вуд, С. (2017). Обобщенные аддитивные модели: Введение с R. Chapman and Hall/CRC.