Вопрос или проблема
У меня есть набор значений для поверхности (в пикселях), который со временем увеличивается (экспоненциально). Поверхность состоит из клеток, которые делятся со временем. После моделирования я пришел к следующей формуле:
$$S(t)=S_{initial}2^{t/a_d},$$
где $a_d$ — это возраст, при котором клетка делится. $S_{initial}$ известен. Я пытаюсь оценить $a_d$. Я просто попробовал тест $\chi^2$:
# Диапазон возрастов деления.
a_range = np.linspace(1, 500, 100)
# Настройка пустого вектора для хранения значения хи-квадрат
chi_sq = np.zeros(len(a_range))
# Итерация по возрастам деления
for i in range(len(a_range)):
# Вычисление ожидаемого значения в каждой временной точке.
expect = cell_area[0] * (2**(time_range/a_range[i]))
# Вычисление хи-квадрат
chi_sq[i] = np.sum((cell_area - expect)**2)
# Построение графика теста хи-квадрат
plt.plot(a_range, chi_sq, '.')
plt.yscale('log')
# Подпись
plt.xlabel('возраст деления [мин]')
_ = plt.ylabel('$\chi^2$')
но минимум всегда находится на верхней границе диапазона возрастов, в зависимости от того, каким я установил этот диапазон. Это выглядит неправильно. Поэтому я линеаризовал модель:
$$ln(S(t))=ln(S_{initial})+(1/a_d)ln(2)*t,$$
что теперь просто простая линейная регрессия с фиксированным пересечением.
Вопросы:
- Почему первый метод не сработал?
- Есть ли какие-либо ресурсы о том, как реализовать вышеуказанную регрессию в Python? Я новичок в этом, и все, что я нашел, было очень простым, но я не знаю, как работать с логарифмами и фиксировать пересечение.
Тест хи-квадрат не имеет никакого смысла. Нелинейные уравнения/функции могут быть обработаны путем преобразования их в линейные функции. Линейная модель может быть использована, как только мы преобразуем нелинейные данные/отношения в линейный формат. Тест хи-квадрат проверяет на изменчивость. Вам, похоже, интересна сумма общей площади, т.е. линейная модель, а не линейная регрессия.
Вы можете использовать sklearn для выполнения этой подгонки (sklearn.linear_model.LinearRegression)
-> Установите fit_intercept=False и используйте X=t и Y=ln(S(t))-ln(S(0)), тогда наклон (a в Y=aX) должен быть равен (1/ad)ln(2)
Что касается аналитического результата: вы учли тот факт, что если клетки делятся на поверхности, некоторые клетки могут больше не делиться, так как становится все более многолюдно?
Ответ или решение
Линейная регрессия с фиксированным интерсептом и использование логарифмических преобразований в Python
Введение
В данном обсуждении мы рассмотрим применение линейной регрессии после преобразования модели, описывающей экспоненциальный рост площади, в логарифмическую форму. Также мы разберем, почему первоначальный подход с использованием теста хи-квадрат оказался неэффективным и как правильно реализовать линейную регрессию в Python, чтобы оценить параметр возрастной делимости клетки.
Почему метод хи-квадрат не сработал?
Первоначальная попытка оценить параметр делимости клеток с помощью теста хи-квадрат не дала удовлетворительных результатов, поскольку этот метод предназначен для проверки соответствия наблюдаемых и ожидаемых значений и не подходит для оценки параметров модели. Хи-квадрат в данном случае не учитывает динамику роста площади, которая описывается экспоненциальной функцией. Вместо этого целесообразнее использовать подход, включающий линейное преобразование исходной модели, что позволяет непосредственно оценивать параметры.
Линейная регрессия: преобразование модели
Исходная формула роста площади имеет вид:
$$ S(t) = S_{initial} \cdot 2^{t/a_d} $$
Для упрощения анализа, мы можем применить логарифмическое преобразование:
$$ \ln(S(t)) = \ln(S_{initial}) + \frac{\ln(2)}{a_d} t $$
Теперь мы имеем линейную зависимость, где:
- Независимая переменная (X): время, ( t )
- Зависимая переменная (Y): ( \ln(S(t)) )
- Склон (slope): ( \frac{\ln(2)}{a_d} )
Таким образом, мы можем оценивать ( ad ) с помощью линейной регрессии, фиксируя значение пересечения ( \ln(S{initial}) ).
Реализация линейной регрессии в Python
Для выполнения линейной регрессии с фиксированным интерсептом в Python вы можете воспользоваться библиотекой scikit-learn. Приведем пошаговую инструкцию.
- Импорт необходимых библиотек:
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression- Подготовка данных:
Предположим, что у вас есть массивы cell_area (объем клетки в пикселях) и time_range (время в минутах), которые вы получили ранее.
# Определите исходные данные
cell_area = np.array([...]) # Замените на ваши данные
time_range = np.array([...]) # Замените на ваши данные
# Преобразуем значение площади в логарифмическую форму
log_cell_area = np.log(cell_area)- Создание и обучение модели линейной регрессии:
# Инициализация модели
model = LinearRegression(fit_intercept=False)
# Обучение модели (X - время, Y - логарифм площади)
model.fit(time_range.reshape(-1, 1), log_cell_area)
# Получаем параметры
slope = model.coef_[0]
intercept = model.intercept_
# Параметр a_d
a_d = np.log(2) / slope
print(f'Оценка a_d: {a_d}')- Визуализация результатов:
# Предсказанные значения
predicted_log_area = model.predict(time_range.reshape(-1, 1))
# Визуализация
plt.scatter(time_range, log_cell_area, color='blue', label='Наблюдаемые данные')
plt.plot(time_range, predicted_log_area, color='red', label='Линейная регрессия')
plt.xlabel('Время [минуты]')
plt.ylabel('Логарифм площади')
plt.legend()
plt.show()Заключение
Линейная регрессия является эффективным методом для оценки параметров модели, после чего мы можем правильно интерпретировать параметры нашего уравнения. После замены оригинальных переменных на их логарифмическое значение, мы значительно упростили задачу. Создание моделирования в Python с использованием scikit-learn позволяет легко и быстро получить необходимые результаты.
Дополнительные рекомендации
Обязательно учитывайте возможность влияния факторов, таких как конкуренция за ресурсы, которые могут влиять на рост клеток, что может потребовать дальнейшего уточнения модели.
Линейные модели являются лишь одним из подходов, которые могут быть использованы для анализа динамических систем. Необходимо принимать во внимание контекст и особенности вашей системы, чтобы обеспечить корректность интерпретации результатов.