Вопрос или проблема
Логарифмические шансы имеют линейную зависимость с независимыми переменными, поэтому логарифмические шансы равны линейному уравнению.
Что насчет логарифма вероятности? Как он связан с независимыми переменными? Существует ли способ проверить эту зависимость?
В логистической регрессии не так, что логарифмические шансы линейно связаны с признаками. Мы предполагаем, что такая зависимость существует, а затем находим коэффициенты, которые обеспечивают наилучшее соответствие. Эта предполагаемая линейная зависимость между логарифмическими шансами и признаками может быть ужасным предположением, и именно поэтому модели, такие как нейронные сети, могут быть полезны.
Если вы хотите предложить биномиальную модель с $\log(\mathbb E[Y\vert X])=X\beta$, не стесняйтесь это сделать. На самом деле, R не испытывает проблем с подгонкой подобной модели.
set.seed(2022)
N <- 100
x <- runif(N, 1, 2)
y <- rbinom(N, 1, 0.5)
L <- glm(y ~ x, family = binomial(link = log))
summary(L)
Ответ или решение
Логарифм шансов против логарифма вероятности: подробный анализ
В области статистики и машинного обучения терминология, связанная с логарифмами, часто может вызывать путаницу, особенно когда речь идет о понятиях логарифма шансов и логарифма вероятности. Давайте более подробно рассмотрим эти два понятия, их отличия и взаимосвязь, а также роль в логистической регрессии.
Логарифм шансов (log-odds)
Логарифм шансов используется в контексте логистической регрессии и определяется как логарифм отношения вероятности наступления события к вероятности его ненаступления. Формально это можно записать так:
[
\text{log-odds} = \log\left(\frac{P(Y=1 | X)}{P(Y=0 | X)}\right)
]
Где (P(Y=1 | X)) — вероятность наступления события, а (P(Y=0 | X)) — вероятность его ненаступления. В логистической регрессии предполагется линейная зависимость логарифма шансов от независимых переменных (X):
[
\text{log-odds} = X\beta
]
Где (X) — вектор независимых переменных, а (\beta) — вектор коэффициентов, определяющий влияние этих переменных на логарифм шансов.
Логарифм вероятности
С другой стороны, логарифм вероятности (или логарифм ожидаемой вероятности) выражает отношения между переменными по-другому. Предположение о том, что логарифм математического ожидания (Y) при заданном (X) можно описать с помощью линейной модели:
[
\log(\mathbb{E}[Y | X]) = X\beta
]
Где (\mathbb{E}[Y | X]) — ожидаемое значение случайной величины (Y) в зависимости от (X). Однако важно понимать, что в случае бинарных зависимых переменных, как в логистической регрессии, логарифм вероятности не гарантирует линейную зависимость.
Связь между логарифмом вероятности и логарифмом шансов
Важно отметить, что логарифм вероятности и логарифм шансов связаны, но они не являются эквивалентными. Логарифм шансов может быть выражен через логарифм вероятности следующим образом:
[
\text{log-odds} = \log(P) – \log(1 – P)
]
Здесь (P) — вероятность наступления события. Таким образом, логарифм вероятности является более естественным понятием для работы с непосредственно вероятностями, в то время как логарифм шансов удобен для построения линейных моделей влияния факторов.
Практическое применение и альтернативные модели
Процесс построения модели с использованием логистической регрессии может зависеть от предположения о линейной зависимости логарифма шансов от независимых переменных. Если это предположение не выполняется, то могут быть полезны более сложные модели, такие как нейронные сети, которые способны захватывать нелинейные взаимосвязи в данных.
Пример кода на R для построения модели с логарифмической зависимостью:
set.seed(2022)
N <- 100
x <- runif(N, 1, 2)
y <- rbinom(N, 1, 0.5)
L <- glm(y ~ x, family = binomial(link = log))
summary(L)Этот код демонстрирует, что можно запрограммировать любую модель, предполагающую логарифмическую зависимость, с использованием функции glm в R.
Заключение
В сумме, логарифм шансов и логарифм вероятности имеют ключевые различия и применяются в разных контекстах, особенно в рамках логистической регрессии. Понимание этих концепций и их взаимосвязи помогает в более глубоком анализе данных и выборе подходящих статистических моделей. Важно быть внимательным к предположениям моделей, чтобы сделать вашу аналитику более надежной и точной.