- Вопрос или проблема
- Ответ или решение
- Теория
- Максимизация правдоподобия и перекрёстная энтропия
- Условные модели и условные вероятности
- Применение к вопросу
- Вопрос 1: Условная независимость и эквивалентность с перекрёстной энтропией
- Вопрос 2: Логарифм правдоподобия и условные эмпирические распределения
- Практические рекомендации
Вопрос или проблема
Я наткнулся на эту статью: «MSE is Cross Entropy at Heart: Maximum Likelihood Estimation Explained», в которой говорится:
«Когда мы обучаем нейронную сеть, мы пытаемся найти параметры распределения вероятностей, которое максимально близко к распределению обучающего набора».
Это имеет смысл, когда модель изучает безусловное распределение данных, предполагая, что истинный процесс генерации данных независим и одинаково распределен (IID). В этом случае мы можем записать среднее логарифмическое правдоподобие как математическое ожидание вероятности модели относительно эмпирической вероятности данных:
$$
\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log p_{\theta}(x_i) \quad \text{или эквивалентно} \quad \mathbb{E}_{\hat{p}_{\text{data}}}[\log p_{\theta}(x)]
$$
Для условных моделей мы обычно записываем аналогичное выражение, используя условные вероятности:
$$
\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log p_{\theta}(y_i \mid x_i) \quad \text{или эквивалентно} \quad \mathbb{E}_{\hat{p}_{\text{data}}}[\log p_{\theta}(y \mid x)]
$$
Однако у меня есть несколько вопросов по поводу этой формулировки:
-
Условная независимость и эквивалентность перекрестной энтропии:
Для условных моделей мы часто предполагаем только условную независимость (см. это обсуждение). Означает ли это, что логарифмическое правдоподобие в условном случае не всегда будет эквивалентно перекрестной энтропии с распределением эмпирических данных, если процесс генерации данных не является IID? Верно ли мое понимание? -
Логарифмическое правдоподобие и условные эмпирические распределения:
В общем, почему логарифмическое правдоподобие не рассчитывается относительно условного эмпирического распределения данных для условных моделей? Другими словами, почему мы напрямую используем математическое ожидание:$$
\mathbb{E}_{\hat{p}_{\text{data}}(x,y)}[\log p_{\theta}(y \mid x)]
$$вместо того чтобы формулировать его в терминах условного эмпирического распределения $\hat{p}_{\text{data}}(y \mid x)$?
Любые инсайты или ссылки, которые могли бы помочь прояснить эти моменты, будут весьма признательны!
Ответ или решение
Максимизация правдоподобия (Maximum Likelihood Estimation, MLE), перекрёстная энтропия (Cross-Entropy) и условные эмпирические распределения для условных моделей представляют собой фундаментальные концепции в области машинного обучения и статистики. Чтобы понять, как они взаимодействуют, важно углубиться в теоретическую суть и практическое применение каждой концепции. Вопрос, представленный вами, затрагивает некоторые ключевые аспекты использования этих методов, особенно в контексте условных моделей.
Теория
Максимизация правдоподобия и перекрёстная энтропия
Максимизация правдоподобия является стандартным методом для оценки параметров модели. В условиях машинного обучения, это означает нахождение таких параметров модели, которые максимизируют вероятность наблюдаемых данных. Другими словами, MLE пытается настроить параметры модели так, чтобы полученное распределение наиболее точно повторило истинное (неизвестное) распределение данных.
Перекрёстная энтропия часто используется как функция потерь в задачах классификации. Она измеряет расхождение между двумя распределениями: истинным распределением меток и предсказанным распределением. Перекрёстная энтропия может быть интерпретирована через призму теории информации как среднее количество дополнительных бит информации, необходимых для описа-ния истинного распределения, если мы используем предсказанное распределение для кодировки данных.
Условные модели и условные вероятности
При работе с условными моделями мы часто исследуем вероятности вида ( p(y \mid x) ), где ( x ) — это некоторые условия или входные данные, а ( y ) — условные результаты. Эти модели исследуют функцию распределения результатов, обусловленных данными условиями. В отличие от независимых и идентично распределённых (IID) данных, условные модели допускают, что данные могут иметь внутреннюю зависимость.
Применение к вопросу
Вопрос 1: Условная независимость и эквивалентность с перекрёстной энтропией
Ваше понимание частично верно. В условных моделях, где мы рассматриваем зависимости вида ( p(y \mid x) ), предположение о независимости обычно касается независимости ошибок, а не независимости самих переменных. Это значит, что условные вероятности помогают моделировать зависимость результатов от заданных условий.
Перекрёстная энтропия между предсказанным и истинным распределениями представляет собой функцию потерь, минимизация которой ведёт к максимизации правдоподобия. В случае условных моделей, если данные не являются IID, формула перекрёстной энтропии всё ещё применима, но должна учитываться структура зависимости между данными.
Вопрос 2: Логарифм правдоподобия и условные эмпирические распределения
Вычисление логарифма правдоподобия для условных моделей через ( \mathbb{E}{\hat{p}{\text{data}}(x,y)}[\log p_{\theta}(y \mid x)] ) является стандартным подходом, поскольку мы имеем дело с функцией правдоподобия условных вероятностей. Это позволяет оценивать, насколько хорошо модель предсказывает ( y ) при различных ( x ).
Условным эмпирическим распределениям ( \hat{p}{\text{data}}(y \mid x) ) часто не придаётся явное значение при вычислении правдоподобия, так как ключевая цель — создание параметрической оценки распределения. Расчёт правдоподобия через ожидание относительно ( \hat{p}{\text{data}}(x,y) ) уже подразумевает использование всех доступных данных, включая их условную структуру.
Практические рекомендации
-
Включите предпосылки и огра-н-чения ваших моделей. В условных моделях обязательно указывайте зависимости между переменными и проверяйте предположение об их условной независимости.
-
Используйте перекрёстную энтропию в качестве функции потерь для условных моделей. Это поможет лучше управлять моделью, минимизируя расхождение между предсказанными и истинными условными распределениями.
-
Позаботьтесь о проверке предположений. Любая модель строится на определённых предположениях: при отклонении реальных данных от этих предположений важно иметь методы для адаптации модели или преобразования данных.
Хотя теоретически использование ( \hat{p}_{\text{data}}(y \mid x) ) может предоставить более точную информацию о распределениях, на практике такое требование может усложнить вычисления. Эмпирическое распределение покрывает данные целиком, позволяя минимизировать функции потерь для достижения адекватных результатов, независимо от структуры данных.