Вопрос или проблема
Я пытаюсь понять, как маргинализировать совместное распределение.
В моем случае у меня есть честная монета, $P(C) = \frac12$ и честный кубик $P(D) = \frac16$. Мне сказали, что я выиграю приз, если подбрасываю монету, и она выпадает решкой, и если исход кубика $= 1$. Мне сказали, что хотя бы одно из них верно.
$$Q = (\text{Монета = Решка или Кубик} = 1)$$
$$W = (\text{Монета = Решка и Кубик} = 1)$$
Так что если я хочу вычислить вероятность $W =$ Истина $| Q =$ Истина, я могу использовать маргинализацию для этого, учитывая совместное распределение:
$$P(C), P(D), P(Q|C,D), P(W|C,D)$$
Я просто не знаю, с чего начать, любая помощь будет очень признательна. Я довольно новичок в этом.
Заранее спасибо.
Руководство:
Для решения задачи мы должны предположить, что исход кубика и исход монеты независимы.
Обозначим $C$ событие, что монета выпадает решкой, и $D$ событие, что исход кубика $1$.
Вам дано, что монета выпадает решкой или кубик выпадает на $1$, и вы хотите выяснить, что монета выпадает решкой и кубик выпадает на $1$.
Вы хотите вычислить $P(W|Q)=\frac{P(W\cap Q)}{P(Q)}=\frac{P(W)}{P(Q)}=\frac{P(C)P(D)}{P(Q)}$.
Чтобы вычислить $P(Q)$ где $Q= C \cup D$, можно использовать $$P(Q)= P(C)+P(D)-P(C\cap D)$$
или $$P(Q)=1-P(Q^c)=1-P(C^c \cap D^c)$$
Используя все эти формулы, надеюсь, вы сможете решить $P(W|Q)$.
.
Ответ или решение
О понятии предельного распределения в контексте совместных распределений часто говорят, анализируя вероятности, связанные с комбинациями независимых событий. Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно.
Условие задачи включает в себя подбрасывание честной монеты и бросание честной кости, где вероятность получения "орла" или "решки" (событие (C)) равна 1/2, а вероятность выпадения определенного числа на кости (событие (D)) — 1/6. Исходя из этих данных, вам необходимо вычислить вероятность, что монета покажет "решку" и кость покажет "1" при условии, что одно из этих событий, по крайней мере, произошло.
Что такое предельное распределение?
Предельное распределение — это метод, который предполагает нахождение вероятности одного из параметров в совместном распределении, суммируя (или интегрируя) все прочие параметры. В этом примере, необходимо использовать предельное распределение, чтобы вычислить вероятности отдельных событий в рамках совместного распределения событий (C) и (D).
Пошаговый анализ задачи
-
Определите события: Обозначим (C) как событие "монета — решка", а (D) как событие "кость — 1".
-
Совместное событие (W) и объединенное событие (Q):
- (W) — это событие, при котором одновременно (C) и (D), то есть (W = C \cap D).
- (Q) — это событие, при котором либо (C), либо (D), то есть (Q = C \cup D).
-
Расчет вероятности для события (W): Так как (C) и (D) независимы, вероятность совместного события (W) будет (P(W) = P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}).
-
Расчет вероятности (P(Q)) с использованием формулы вероятности объединения событий:
- (P(Q) = P(C) + P(D) – P(C \cap D))
- (P(Q) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} – \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{2}{12} – \frac{1}{12} = \frac{7}{12}).
-
Условная вероятность (P(W|Q)):
- Используем формулу условной вероятности: (P(W|Q) = \frac{P(W)}{P(Q)}).
- Подставляя ранее рассчитанные значения: (P(W|Q) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{7}).
Заключение
С учетом всех промежуточных вычислений, вероятность того, что монета покажет "решку" и кость покажет "1" (то есть событие (W)), при условии, что произошло одно или оба этих события (событие (Q)), равна (\frac{1}{7}). Таким образом, используя предельное распределение и правила вероятности, можно эффективно анализировать сложные ситуации с независимыми событиями и определять необходимые вероятности.