Вопрос или проблема
Может кто-то помочь, пожалуйста? Я это не понимаю
Я собираюсь решить другую задачу, чтобы у вас всё равно была возможность что-то сделать самостоятельно для домашнего задания, но это должно дать вам шаблон для решения вашей задачи.
$$
(X_1,Y_1)=(1,1)\\
(X_2,Y_2)=(3,5)
$$
Если $h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2$, давайте посчитаем стоимость $J(\theta_0,\theta_1,\theta_2)=\sum_i \big(h(x^{(i)}-y^{(i)}
\big)^2$ когда $\theta_0=\theta_1=\theta_2=2$.
$$
J(2,2,2) = \bigg(\big(2+2(1)+2(1^2)\big)-1\bigg)^2
+
\bigg(\big(
2+2(3)+2(3^2)
\big)
-5\bigg)^2 \\
=
25+441\\=466
$$
Ответ или решение
Вопрос о функции стоимости в линейной регрессии действительно является ключевым элементом в понимании, как оцениваются и оптимизируются модели предсказания. Давайте подробно рассмотрим это понятие, а также решим пример, приведённый в вашем сообщении.
Что такое функция стоимости в линейной регрессии?
Функция стоимости (или функция потерь) в линейной регрессии – это математическая формула, которая измеряет, насколько хорошо модель предсказывает выходные значения (Y) на основе входных переменных (X). Цель линейной регрессии заключается в минимизации этой функции, чтобы улучшить точность предсказаний модели.
Функция стоимости J(θ) обычно определяется как средняя квадратичная ошибка (MSE), которая измеряется по формуле:
[
J(\theta) = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} (h\theta(x^{(i)}) – y^{(i)})^2
]
где:
- ( h_\theta(x^{(i)}) ) – это прогнозируемое значение на основе выбранных параметров (θ),
- ( y^{(i)} ) – это фактическое значение,
- ( n ) – общее количество точек данных.
Для каждого значения входных данных мы рассчитываем разницу между предсказанным и фактическим значениями, возводим в квадрат, чтобы избежать отрицательных значений, и усредняем по всем точкам данных.
Пример расчета функции стоимости
Давайте проанализируем предоставленный вами пример, где у нас есть две точки данных:
- ( (X_1, Y_1) = (1, 1) )
- ( (X_2, Y_2) = (3, 5) )
И функция ( h_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1 x + \theta_2 x^2 ). Мы будем использовать значения ( \theta_0 = 2, \theta_1 = 2, \theta_2 = 2 ) для расчета стоимости.
-
Прогнозирование значений:
- Для ( x = 1 ):
[
h(1) = 2 + 2(1) + 2(1^2) = 2 + 2 + 2 = 6
] - Для ( x = 3 ):
[
h(3) = 2 + 2(3) + 2(3^2) = 2 + 6 + 18 = 26
]
- Для ( x = 1 ):
-
Расчет функции стоимости:
Подставляем полученные значения в формулу для J:
[
J(2,2,2) = \left(6 – 1\right)^2 + \left(26 – 5\right)^2 = 5^2 + 21^2 = 25 + 441 = 466
]
Таким образом, мы получили значение функции стоимости J(θ) равным 466. Это означает, что, при данных значениях параметров, модель делает значительные ошибки в предсказании по сравнению с фактическими значениями. Минимизация этой функции позволит улучшить параметры модели и, следовательно, повысить ее производительность.
Заключение
Понимание функции стоимости и ее роли в линейной регрессии критически важно для построения эффективных прогнозных моделей. Это позволяет вам не только оценивать точность ваших предсказаний, но и оптимизировать модель для достижения лучших результатов. Рекомендуется выполнять анализ функции стоимости при различных значениях параметров, чтобы находить оптимальные комбинации для улучшения точности модели.