Вопрос или проблема
Я задумался, в модели Гауссовского дискриминантного анализа (GDA), скажем, у нас есть два класса для классификации y=0 и y=1
После подгонки гауссианы по наборам данных y=0 и y=1, когда мы пытаемся предсказать класс для новой тестовой точки, говорится, что используется правило Байеса для расчета P(Y=0/1 | X) и назначается класс с максимальной вероятностью.
Мой вопрос: можем ли мы использовать p-значение вместо правила Байеса, чтобы проверить, принадлежит ли новая точка данных к y=0 или y=1, поскольку распределение, которое мы подгоняем, является гауссовым.
Таким образом, p-значение будет показывать вероятность увидеть тестовую точку данных для обоих гауссов (для класса y=0, y=1)
Так правильно ли я понимаю и можем ли мы использовать p-значение вместо правила Байеса?
Здесь есть важный момент. Вы говорите:
Таким образом, p-значение будет показывать вероятность увидеть тестовую точку данных для обоих гауссов (для класса y=0, y=1)
Так правильно ли я понимаю и можем ли мы использовать p-значение вместо правила Байеса?
Нет, p-значения не могут заменить правило Байеса в Гауссовском дискриминантном анализе (GDA), поскольку они не дают апостериорные вероятности, необходимые для классификации.
Чтобы понять почему, давайте уточним основное различие между тем, что предоставляет p-значение, и тем, что нам нужно для классификации. Обычно, делая статистические выводы, мы собираем данные, $\mathcal{D}$, и хотели бы определить вероятность, что гипотеза истинна, исходя из этих данных, выраженную как:
$$\mathcal{P}(\mathcal{H_0} \mid \mathcal{D})$$
Однако частотные процедуры дают нам нечто совершенно другое:
$$\mathcal{P}(\mathcal{D} \mid \mathcal{H_0})$$
которое представляет вероятность получения данных хотя бы столь же экстремальных, как наблюдаемые, при условии, что нулевая гипотеза $\mathcal{H_0}$ истинна. Это значение, p-значение, таким образом, является мерой экстремальности данных в рамках конкретного класса (например, $Y=0$ или $Y=1$) вместо указания на то, какой класс более вероятен, учитывая данные.
Это различие особенно важно в GDA, поскольку задачи классификации требуют апостериорных вероятностей, которые p-значения не обеспечивают. В GDA нам нужны апостериорные вероятности, $\mathcal{P}(Y = 0 \mid X)$ и $\mathcal{P}(Y = 1 \mid X)$, чтобы оценить вероятность каждого класса для новых данных. Эти вероятности учитывают как правдоподобие данных в рамках гауссовского распределения каждого класса, так и априорные вероятности. Правило Байеса объединяет эти элементы, позволяя нам назначить класс с наивысшей апостериорной вероятностью.
Используя правило Байеса, апостериорная вероятность для класса $Y=0$ при условии данных $X$ рассчитывается как:
$$
\mathcal{P}(Y=0 \mid X) = \frac{\mathcal{P}(X \mid Y=0) \, \mathcal{P}(Y=0)}{\mathcal{P}(X \mid Y=0) \, \mathcal{P}(Y=0) + \mathcal{P}(X \mid Y=1) \, \mathcal{P}(Y=1)}
$$
где:
- $\mathcal{P}(X \mid Y=0)$ и $\mathcal{P}(X \mid Y=1)$ — это правдоподобия наблюдения $X$ при условии каждого класса, и
- $\mathcal{P}(Y=0)$ и $\mathcal{P}(Y=1)$ — это априорные вероятности каждого класса.
Класс с наивысшей апостериорной вероятностью затем выбирается как предсказанный класс для $X$.
Использование только p-значений не достигает этой цели, поскольку они не учитывают относительные вероятности или априорные вероятности каждого класса. Вместо этого они указывают, насколько необычными будут данные в каждом классовом распределении, что не указывает на принадлежность к классу.
Подводя итог, в то время как p-значения отражают экстремальность данных в рамках данного распределения, правило Байеса необходимо в GDA для вычисления апостериорных вероятностей, необходимых для надежной классификации. Для дальнейшего чтения по этой теме смотрите фундаментальные работы, такие как Фишер (1925) и Нейман и Пирсон (1933).
Источники
Фишер, Р. А. (1925). Статистические методы для исследовательских работников. Оливер и Бойд.
Нейман, Я., & Пирсон, Е. С. (1933). Проблема наиболее эффективных тестов статистических гипотез. Философские транзакции Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера, 231(694-706), 289–337.
Ответ или решение
Вопрос использования p-значения в контексте анализа дискриминации Гаусса (GDA) в качестве замены правила Байеса требует тщательного рассмотрения. Позвольте пояснить основные различия и объяснить, почему p-значения и правила Байеса служат разным целям в контексте задач классификации.
Основа анализа дискриминации Гаусса
GDA применяется для классификации данных на основе двух категорий: (y=0) и (y=1). Модель основана на предположении о нормальном распределении данных в каждой из категорий. При предсказании метки класса для новых данных используется правило Байеса, позволяющее вычислить условные вероятности классов ( \mathcal{P}(Y=0 \mid X) ) и ( \mathcal{P}(Y=1 \mid X) ). Правило Байеса формулируется следующим образом:
[
\mathcal{P}(Y=0 \mid X) = \frac{\mathcal{P}(X \mid Y=0) \cdot \mathcal{P}(Y=0)}{\mathcal{P}(X)}
]
где:
- (\mathcal{P}(X \mid Y=0)) — вероятность наблюдать данные (X) при условии, что класс (Y=0),
- (\mathcal{P}(Y=0)) — априорная вероятность класса (Y=0),
- (\mathcal{P}(X)) — общая вероятность данных (X).
После вычисления вероятностей для обоих классов выбирается класс с максимальной вероятностью.
Роль p-значения
P-значения, в свою очередь, являются инструментом частотной статистики, используемым для проверки гипотез. Оно отражает вероятность наблюдать данные, по крайней мере столь же экстремальные, как наблюдаемые, при условии, что нулевая гипотеза верна. Таким образом, p-значение дает информацию о том, насколько необычны наблюдаемые данные в рамках заданной модели, но не говорит о вероятности принадлежности данных к конкретному классу.
- Ключевое различие: p-значение не является вероятностью класса, а мера экстремальности данных. Принятие решений на основе p-значений не учитывает априорные вероятности или относительные правдоподобия каждого класса, что критически важно для задач классификации. В GDA необходимо учитывать как правдоподобия, так и априорные вероятности для получения «постериорных вероятностей», которые определяют, к какому классу принадлежит новая точка данных.
Почему нельзя заменить правило Байеса p-значением
Хотя p-значение может дать представление о том, насколько близко значение точки данных к распределению каждого из классов, оно не заменяет необходимую информацию о вероятности принадлежности к классам. Использование только p-значений для принятия решений о классе может привести к неверным выводам, поскольку это не обеспечит комплексной оценки всех данных, включая их априорные вероятности.
Заключение
Итак, p-значения и правило Байеса служат разным целям в контексте анализа дискриминации Гаусса. Для надежной классификации необходимы постериорные вероятности, которые основаны на сочетании правдоподобий и априорных вероятностей. Использование p-значений в качестве альтернативы правилам Байеса не является корректным подходом, поскольку p-значения не дают всей необходимой информации для оценки классов.
Для более глубокого понимания этих концепций и их применения рекомендую ознакомиться с работами таких исследователей, как Фишер и Нейман, которые заложили основы статистического анализа и проверки гипотез.