- Вопрос или проблема
- Ответ или решение
- Почему мы заботимся о выпуклых функциях при использовании градиентного спуска и стохастического градиентного спуска?
- 1. Оптимальность выпуклых функций
- 2. Функции, для которых локальные минимумы являются глобальными
- 3. Проблемы с не выпуклыми функциями
- 4. Более общая классизация функций
- 5. Выводы
Вопрос или проблема
Я имею в виду, что я знаю, почему нам конкретно важны выпуклые функции: это потому, что их локальные минимумы также являются глобальными, и поэтому нужно просто “следовать по пути, который идет вниз”, чтобы найти минимумы функции.
Тем не менее, есть и функции, которые не являются выпуклыми, но для которых локальные минимумы также являются глобальными минимумами, например, функция, которая выглядит так:
Разве нет способа охарактеризовать каждую функцию, которая “хорошо работает” с градиентным спуском? Что-то вроде “если f имеет локальный минимум, то это также глобальный минимум”, что было бы более слабой гипотезой, чем выпуклость?
PS: Когда я это пишу, я также понимаю, что у нас есть проблема с функциями типа $x \mapsto x^3$, для которых градиентный спуск может остановиться на “плато”. Тем не менее, мой вопрос остается прежним: разве невозможно определить более общий класс функций, для которых градиентный спуск работает лучше, чем для выпуклых функций?
Вероятно, в однобромерном случае этот более точный класс функций, к которому вы стремитесь, будет чем-то вроде:
По кускам монотонные (то есть подходящие для градиентного спуска локально) с одним возможным “перепадом” (так что вы знаете, что один минимум будет там, где куски встречаются, другой будет на краях)
Тем не менее, даже если удастся придумать такое определение для более простого пространства однобромерных функций, это становится намного сложнее, чтобы придумать обобщение, которое было бы валидным в более общем многомерном случае.
Несмотря на эту трудность, усилие все равно может быть оправданным, если будет особая польза от этого. В данный момент я лично задаюсь вопросом, так ли это. Конечно, это зависит от контекста вашей проблемы. Разве возможным подходом не будет разложить вашу задачу на шаги:
- Попробуйте разбить ваши поверхности/функции на кусочно-выпуклые
- Примените градиентный спуск к кускам
- Сравните найденные оптимумы
Ответ или решение
Почему мы заботимся о выпуклых функциях при использовании градиентного спуска и стохастического градиентного спуска?
При обсуждении градиентного спуска (Gradient Descent) и стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent, SGD) принципиально важно понимать, почему нас особенно интересуют выпуклые функции. На первый взгляд, это может показаться простым следствием их математических свойств, однако стоит более глубоко разобраться в этом вопросе.
1. Оптимальность выпуклых функций
Если функция выпуклая, это означает, что любое её локальное.minimum. автоматически является глобальным минимумом. Эта уникальная характеристика упрощает процесс нахождения оптимальных значений, позволяя пользователю сосредоточиться на «следовании вниз» в процессе итеративного поиска. Учитывая, что в большинстве случаев градиентный спуск использует лишь информацию о сплошности первого производного, наличие глобального минимума в выпуклой функции минимизирует риски застревания в ложных локальных минимумах.
2. Функции, для которых локальные минимумы являются глобальными
Вы правы в том, что существуют и другие функции, для которых локальные минимумы также являются глобальными, но они обычно имеют особенные свойства или структуру, которые не всегда легко или практично обрабатывать. Например, функции, описанные кусочными монотонными свойствами, как вы упомянули, могут теоретически позволять применение градиентного спуска. Однако, на практике такие функции могут быть сложны для анализа в многомерном пространстве, что снижает их привлекательность для применения в реальных задачах.
3. Проблемы с не выпуклыми функциями
Не выпуклые функции могут вести себя довольно непредсказуемо. Например, функция ( f(x) = x^3 ) демонстрирует поведение, при котором градиентный спуск может застрять на плато или оставаться в окрестности стыка между негативной и позитивной кривыми. Это может привести к недоступности истинного минимума, в то время как алгоритм продолжает бесконечно обновлять свои параметры, не находя выхода.
4. Более общая классизация функций
С подходом к более общему классированию функций существует множество вариантов и теорий. Однако создание универсального класса, который находил бы применение в многомерном пространстве, часто является сложной задачей. Например, вы предлагаете идею разбить функции на кусочно-выпуклые компоненты. В теории это может сработать, но практическое применение требует высококачественного анализа функции и определения ее свойств на каждом из кусочков. В зависимости от контекста и специфики задачи, такая стратегия может оказаться высокоэффективной.
5. Выводы
В заключение, несмотря на возможность существования более обширного класса функций, для которых градиентный спуск может быть применим, выпуклые функции предоставляют наиболее удобное основание для анализа благодаря своей простоте и надежности. Именно из-за этих факторов градиентный спуск широко используется в области оптимизации, в частности в машинном обучении и статистике. Главное, что стоит учитывать: в контексте сложных многомерных функций с множеством локальных минимумов выпуклость предоставляет гарантии, которые значительно упрощают задачу поиска оптимума и минимизируют вероятность столкновения с трудностями в процессе оптимизации.
Таким образом, если функция отвечает критериям выпуклости, это создает прекрасные предпосылки для ее успешного применения в алгоритмах градиентного спуска.