Почему n^log(n) растет медленнее, чем (log(n))^3? [закрыто]

Почему n^log(n) растет медленнее, чем (log(n))^3? [закрыто]

Ответ

Чтобы понять, почему ( n^{\log(n)} ) растет медленнее, чем ( (\log(n))^3 ), давайте внимательно проанализируем оба выражения и их поведение при больших ( n ).

Шаг 1: Определение функций

1. Функция ( n^{\log(n)} ):
   Эта функция может быть переписана с помощью свойства логарифмов:
   [
   n^{\log(n)} = e^{\log(n) \cdot \log(n)} = e^{(\log(n))^2}
   ]

2. Функция ( (\log(n))^3 ):
   Это просто куб логарифма, который также может быть представлен как:
   [
   (\log(n))^3 = \log(n) \cdot \log(n) \cdot \log(n)
   ]

Шаг 2: Сравнение функций

Теперь мы исследуем поведение этих функций при ( n \to \infty ).

• Функция ( n^{\log(n)} ) в своей экспоненциальной форме ( e^{(\log(n))^2} ) значительно увеличивается, так как ( (\log(n))^2 ) стремится к бесконечности при увеличении ( n ).
• Функция ( (\log(n))^3 ) также стремится к бесконечности, но значительно медленнее, так как она растет на основе логарифма, а не на основе выражения, подобного ( n^{\log(n)} ).

Шаг 3: Сравнение темпов роста

Чтобы еще более четко понять, какой из этих двух функций растет быстрее:

1. Рассмотрим, как быстро растут ( e^{(\log(n))^2} ) и ( (\log(n))^3 ) при крайне больших ( n ).
2. Например, объединим оба выражения:
   [
   \frac{n^{\log(n)}}{(\log(n))^3} = \frac{e^{(\log(n))^2}}{(\log(n))^3}
   ]
3. Как ( n ) становится очень большим, ( e^{(\log(n))^2} ) (или ( n^{\log(n)} )) будет расти намного быстрее, чем любое полиномиальное выражение от ( \log(n) ), включая ( (\log(n))^3 ).

Шаг 4: Формальное доказательство через пределы

Можно использовать лимиты для формального доказательства:

[
\lim_{n \to \infty} \frac{(\log(n))^3}{n^{\log(n)}}
]

Принимаем логарифм обеих функций для упрощения вычислений:

• Для ( n^{\log(n)} ):
  [
  \log(n^{\log(n)}) = \log(n) \cdot \log(n) = (\log(n))^2
  ]
• Для ( (\log(n))^3 ):
  [
  \log((\log(n))^3) = 3\log(\log(n))
  ]

Теперь пересчитаем предел:

[
\lim_{n \to \infty} \frac{3 \log(\log(n))}{(\log(n))^2}
]

Так как ( \log(n) ) стремится к бесконечности при ( n \to \infty ), то и ( (\log(n))^2 ) будет стремиться к бесконечности намного быстрее, чем ( 3 \log(\log(n)) ). Следовательно, сам предел будет:

[
\lim_{n \to \infty} \frac{3 \log(\log(n))}{(\log(n))^2} = 0
]

Заключение

Таким образом, мы можем заключить, что:

[
n^{\log(n)} \text{ растет быстрее, чем } (\log(n))^3 \text{, а не наоборот.}
]

Итак, утверждение о том, что ( n^{\log(n)} ) растет медленнее, чем ( (\log(n))^3 ) является ошибочным. На самом деле, ( n^{\log(n)} ) имеет гораздо более быстрый темп роста.