Вопрос или проблема
Я изучал простую линейную регрессию и многократную линейную регрессию. Я задумался над вопросом: получим ли мы одинаковые коэффициенты признаков, если проведем многократную линейную регрессию и
Ответ или решение
Вопрос о том, получаем ли мы одинаковые коэффициенты для признаков при выполнении множественной линейной регрессии и простой линейной регрессии, является интересным и требует детального рассмотрения.
Простая линейная регрессия (Simple Linear Regression) подразумевает наличие только одного независимого признака (пояснительной переменной) и одной зависимой переменной. Модель в этом случае принимает вид:
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \epsilon \]
где \( Y \) — зависимая переменная, \( X_1 \) — независимая переменная, \( \beta_0 \) — свободный член, \( \beta_1 \) — коэффициент при \( X_1 \), а \( \epsilon \) — ошибка модели.
Множественная линейная регрессия (Multilinear Regression), с другой стороны, включает несколько независимых признаков. Модель выглядит следующим образом:
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + … + \beta_n X_n + \epsilon \]
где \( X_2, X_3, …, X_n \) — дополнительные независимые переменные, и \( \beta_2, \beta_3, …, \beta_n \) — соответствующие коэффициенты.
Важно учитывать, что коэффициенты при признаках в модели множественной линейной регрессии зависят от наличия других независимых переменных, включённых в модель. Если вы добавите в модель новые признаки, коэффициенты для уже существующих признаков могут измениться из-за мультиколлинеарности, которая происходит, когда независимые переменные коррелируют друг с другом. Таким образом, коэффициенты \( \beta_1 \), \( \beta_2 \), …, \( \beta_n \) в модели множественной регрессии могут существенно отличаться от коэффициента \( \beta_1 \) в модели простой регрессии.
Если, однако, вы работаете с множественной регрессией, но из нее исключаете все дополнительные признаки, оставляя только один признак (то есть, если вы просто сконцентрируетесь на одном единственном \( X_1 \)), то коэффициенты будут одинаковыми для обеих моделей. В этом случае:
\[ \beta_0 \] в модели множественной регрессии будет равен \( \beta_0 \) из простой регрессии, а \( \beta_1 \) в модели множественной регрессии будет равен \( \beta_1 \) из простой регрессии.
Таким образом, однозначно ответить на ваш вопрос можно следующим образом: если в множественной линейной регрессии используются несколько признаков, то коэффициенты могут отличаться от тех, что получены в простой линейной регрессии. Если же используется только один и тот же независимый признак, то коэффициенты будут совпадать.
Следовательно, при использовании множественной регрессии важно учитывать, какие признаки включены в модель, и помнить о взаимосвязях между ними.