Вопрос или проблема
Предположим, у меня есть пространство экземпляров с 4 признаками, и я знаю, что дерево решений с 8 узлами может представлять целевую функцию, которую я хочу изучить. Я хочу установить верхнюю границу на размер выборки, необходимой для достижения истинной ошибки не более x%.
Я нашел эту теорему в учебнике.
Пусть $\mathcal{H}$ — это класс гипотез, и пусть $\epsilon, \delta > 0$. Если обучающая выборка $S$ имеет размер
$$n\geq\frac{1}{\epsilon}\operatorname{ln}\left(\frac{|\mathcal{H}|}{\delta}\right)$$
и взята из распределения $\mathcal{D}$, то с вероятностью, равной или большей $1-\delta$, любая $h \in \mathcal{H}$ с истинной ошибкой $err_D(h) \geq \epsilon$ имеет обучающую ошибку $err_S(h) > 0$. Эквивалентно, с вероятностью, равной или большей $1-\delta$, любая $h \in \mathcal{H}$ с нулевой обучающей ошибкой имеет истинную ошибку менее $\epsilon$.
Мой вопрос в том, могу ли я использовать эту теорему для установления такой верхней границы? Если да, каким будет размер моего пространства гипотез $|\mathcal{H}|$ в этом случае? Если нет, как я могу установить эту верхнюю границу?
Насколько я понимаю эту теорему (не очень много), она на самом деле ничего не говорит о связи между $n$ (размером обучающей выборки) и уровнем ошибки. Основная связь, на которую она указывает, заключается между ошибкой на обучающей выборке и истинной ошибкой, при условии минимального размера на размер обучающей выборки и того, что обучающая выборка взята из истинного распределения.
Я думаю, что невозможно установить абсолютную верхнюю границу на количество образцов, необходимых в обучающей выборке, как минимум по следующим причинам:
- Успех обучения зависит от того, какие экземпляры входят в обучающую выборку, т.е. необходимо иметь достаточно представительную выборку, чтобы модель правильно отражала распределение. Например, теоретически может случиться так, что все $n$ экземпляров имеют одно и то же значение для признака $x$, поэтому модель никогда не узнает, что признак $x$ может иметь другое значение. В общем случае нет никакого способа быть уверенным, что обучающая выборка содержит всё разнообразие, необходимое для успешной модели экземпляров.
- Также существует вопрос о том, что именно делает алгоритм обучения: если кто-то хочет доказать, что определённый алгоритм обучения DT (скажем, C4.5) может обучиться определённой модели с менее чем $n$ экземплярами (предполагая, что эти $n$ экземпляры достаточны), доказательство должно включать в себя конкретные свойства самого алгоритма. В противном случае очевидно, что утверждение ложное: если выбрать алгоритм, который случайным образом строит дерево, ясно, что он не может привести к правильной модели.
Я думаю, что более реально и более распространено предоставить экспериментальную верхнюю границу: провести множество экспериментов кросс-валидации, варьируя размер обучающей выборки и, возможно, другие параметры. На основе этого можно оценить вероятность достижения правильной модели с учётом размера и других параметров.
Ответ или решение
Вопрос, касающийся верхней границы размера выборки для построения решающих деревьев, является важным для специалистов в области машинного обучения. Понимание этого позволяет более эффективно подходить к проектированию моделей и оптимизации затрат ресурсов на обучение. Рассмотрим, как можно оценить верхнюю границу размера выборки, используя теорему из учебника и дополнительные соображения.
Контекст задачи
У нас есть пространство признаков из четырех переменных, и известно, что целевая функция может быть представлена решающим деревом с восемью узлами. Желательно оценить, какое количество выборок необходимо, чтобы обеспечить истинную ошибку не более x%.
Теорема и её использование
Теорема, описанная в учебнике, установила связь между размером обучающей выборки ( n ), мощностью гипотезного пространства ( |\mathcal{H}| ), и допустимой ошибкой ( \epsilon ) с вероятностью ( 1-\delta ). Формула, вытекающая из теоремы:
[
n \geq \frac{1}{\epsilon} \ln\left(\frac{|\mathcal{H}|}{\delta}\right)
]
где ( n ) — размер выборки, ( |\mathcal{H}| ) — количество возможных гипотез в классе, ( \epsilon ) — истинная ошибка, а ( \delta ) — вероятность ошибки.
Оценка силы гипотезного пространства
Чтобы использовать теорему на практике, необходимо оценить количество возможных гипотез ( |\mathcal{H}| ). Для решающего дерева с фиксированным числом узлов и признаков, мощность гипотезного пространства напрямую не очевидна и зависит от:
- Количество признаков: предельное число комбинаций признаков задаёт базовую ширину возможных моделей.
- Высота дерева: каждое разветвление добавляет варианты в структуру модели.
- Количество значений признаков: добавляет сложность в возможные варианты разбиений ветвей.
Для дерева из 8 узлов и 4 признаков, определение точного числа гипотез требует сложных вычислений и учёта всех возможных конфигураций разветвлений и классов.
Практический подход и выводы
Теоретические оценки, такие как вышеуказанная теорема, не всегда гарантируют абсолютную точность в реальных условиях. Как верно отмечено, успех обучения часто обусловлен представительностью выборки и спецификой самого алгоритма обучения. Необходимость учитывать различия в значениях признаков и стратегии алгоритма (например, C4.5 или Cart) делает задачу более сложной.
Вместо абсолютных границ более целесообразно использовать экспериментальные методы оценки. Проведение многочисленных опытов с кросс-валидацией и изменением объёма обучающей выборки с последующим анализом позволяет на практике определить оптимальный размер выборки для минимизации ошибки.
Понимание и правильное использование этих подходов способствует не только построению более точных моделей, но также и рациональному расходованию вычислительных ресурсов и времени.