Вопрос или проблема
Проблема: Класс C имеет VC-размерность d. Класс C’ включает все объекты, сформированные пересечениями и объединениями (в любом порядке) s объектов из C. Дайте верхнюю границу VC-размерности C’.
Попытка
Я знаю, что если H — это класс гипотез размером s с VC-размерностью d. Следующее верно:
Если H’ — это класс, сформированный всеми объединениями s гипотез из H и s ≥ 1. Тогда VC-размерность(𝐻’) ≤ $2𝑑𝑠log{_2}(3𝑠)$.
То же самое верно, если H’ — это класс, сформированный всеми пересечениями. https://cs.nyu.edu/~mohri/ml07/sol2.pdf (см. Часть B)
Отсюда моя попытка:
Чтобы сформировать C’, мы позволяем вложенные комбинации пересечений и объединений. Это означает $⋃{_{i=1}}⋂{_{j=1}}c{_{ij}}$, где c∈C.
Поскольку каждая группа пересечений или объединений может быть размером от 1 до s, мы получаем умножения и сложения границ с различными размерами групп. Но здесь я застрял.
Я был бы рад услышать ваши мнения о том, верно ли это.
Ответ или решение
Верхняя граница VC-измерения классов, образованных пересечениями и объединениями
Введение
Определение верхней границы VC-измерения классов объектов, создаваемых пересечениями и объединениями объектов из данного класса, является важной задачей в теоретическом обосновании алгоритмов обучающихся систем. Давайте глубже рассмотрим эту задачу и постараемся найти подходящее решение.
Определение задачи
Для класса C, обладающего VC-измерением d, требуется определить верхнюю границу VC-измерения класса C’, который включает объекты, сформированные пересечениями и объединениями (в любом порядке) из s объектов класса C.
Известные факты и попытка решения
Как указано в вашем описании, если у нас есть класс гипотез H размером s с VC-измерением d, то класс H’, сформированный всеми объединениями s гипотез из H, имеет VC-измерение, не превышающее (2ds \log_2 (3s)). Этот результат применим и при формировании класса H’ из пересечений. Основной вызов заключается в том, чтобы применить эту идею ко всем возможным чередованиям объединений и пересечений.
Обоснование и решение
-
Анализ структуры C’: Класс C’ включает в себя все возможные комбинации пересечений и объединений до s объектов из C. Это означает, что можно представить C’ как множество операций, которые могут быть рекурсивными и чередующимися — например, ( \bigcup{i=1}^k \bigcap{j=1}^m c_{ij} ).
-
Применение известного результата: Используя доказанный результат для объединений или пересечений, мы можем утверждать, что для каждого фиксированного уровня операций между не большими чем s объектами VC-измерение ограничено величиной порядка (2ds \log_2 (3s)).
-
Учет чередованных операций: Учитывая чередованную природу операций в C’, необходимо комбинировать эти результаты. Общая идея состоит в том, чтобы рассмотреть каждую операцию объединения или пересечения как "слой" и применить вышеупомянутую логарифмическую формулу для каждого слоя.
-
Оценка максимального VC-измерения: Итоговая верхняя граница VC-измерения при наличии s уровней операций может быть получена суммированием или умножением соответствующих границ для каждого уровня. Наиболее простой способ воспользоваться композицией границ — применить индуктивный подход, когда дескриптор каждого уровня добавляет комплексность, но не увеличивает ее экспоненциально.
Заключение
Совокупность верхних границ для комбинаций пересечений и объединений может быть найдена, если рассматривать каждый шаг алгоритмически и методично применять известные математические результаты. Окончательная оценка будет зависеть от точной конструкции операций, но описанный подход дает надежную основу для ее вычисления.
Чтобы написать более детализированное и математически строгое обращение к задаче, может потребоваться разбор специализированной литературы и использование более сложных математических обоснований. Оптимизация для SEO в данном контексте достигается за счет точного использования технических терминов и объяснения их применимости в реальных задачах.