Вопрос или проблема
Привет, я прослушиваю курс по распределению вероятностей в науке о данных, и ниже представлено вывод математического ожидания дисперсии
- Дисперсия = математическое ожидание квадратов отклонений от среднего для любого значения. Но в общем случае дисперсия — это просто разница между значением и его средним.
Почему мы возводим в квадрат и добавляем символ математического ожидания?
$$\sigma^2 = E((Y – \mu)^2) = E(Y^2) – \mu^2$$
-
На первом шаге вывода, почему мы умножаем сумму $p(x)$ на $(x – \mu)^2$?
-
Как обоснована эта подстановка? Я не могу понять это. Я знаю, что $E(X)=p(X).X$
$E(X^2) = \sum P(X)*X^2$
Математическое ожидание случайной величины определяется как (не углубляясь в теорию вероятностей/измерений):
- Для дискретного распределения $F$ имеем $E(X)=\sum_x P_F(X=x) x$
- Для (абсолютно) непрерывного распределения $F=\int f(x) dx$ имеем $E(X) = \int f(x) dx$
Следовательно, первое равенство — это просто определение математического ожидания в дискретном случае.
И, наконец, закон неосознаваемого статистика (LOTUS) утверждает следующее:
$$E(g(X)) = \int g(x) f(x) dx$$ (для непрерывного распределения F) или
$$E(g(X)) = \sum g(x) P(X=x)$$ (для дискретного распределения F).
Ответ или решение
Вопрос о выводе математического ожидания для дисперсии затрагивает несколько ключевых концепций теории вероятностей и статистики. Рассмотрим детально этот процесс.
Дисперсия
Дисперсия случайной величины — это мера разброса её значений относительно среднего (математического ожидания). В математическом формализме она определяется следующим образом:
[ \sigma^2 = E((Y – \mu)^2) ]
где ( \mu ) — математическое ожидание случайной величины ( Y ).
Зачем возводить в квадрат и использовать математическое ожидание?
-
Возведение в квадрат: Мы возводим в квадрат разницу между случайной величиной и её средним, чтобы все отклонения были положительными. Это позволяет измерять "разброс" значений относительно среднего, используя неотрицательные числа.
-
Математическое ожидание: Использование математического ожидания позволяет получить среднее значение этих квадратов отклонений, что дает меру средней ошибки или разброса относительно среднего значения.
Вывод формулы для дисперсии
Чтобы понять второй аспект вопроса о том, почему мы используем вероятности и сумму/интеграл, посмотрим на стандартное определение математического ожидания:
- Для дискретных распределений:
[ E(X) = \sum_x P_F(X=x)x ]
- Для непрерывных распределений:
[ E(X) = \int x f(x) dx ]
Затем, по закону несознательного статистика (LOTUS), математическое ожидание некоторой функции от случайной величины, ( g(X) ), выражается через интеграл или сумму:
- Для непрерывных распределений:
[ E(g(X)) = \int g(x) f(x) dx ]
- Для дискретных распределений:
[ E(g(X)) = \sum g(x) P(X=x) ]
В контексте дисперсии мы применяем это к функции ( g(Y) = (Y – \mu)^2 ), получая:
[ \sigma^2 = E((Y – \mu)^2) = \sum (y – \mu)^2 P(Y=y) ]
или для непрерывного:
[ \sigma^2 = \int (y – \mu)^2 f(y) dy ]
Почему это работает и имеет смысл?
Подход через математическое ожидание позволяет учитывать все возможные значения, взвешенные их вероятностями. Таким образом, мы получаем среднее значение квадрата отклонений всех возможных результатов, что и есть дисперсия.
Заключение
Дисперсия как статистическая мера обеспечивает представление о степени изменчивости значений случайной величины относительно её среднего. Этот процесс основан на четких математических определениях и является важной частью статистического анализа и обработки данных.
Использование данной информации придаст вашем ответу содержательность и обеспечит высокую его релевантность по отношению к заданному вопросу в контексте изучения распределений в науке о данных.