Вопрос или проблема
Я написал пост в блоге, в котором я вычислил ряд Тейлора авторегрессионной функции. Это не строго ряд Тейлора, а какая-то его вариация (как я полагаю). Меня больше всего беспокоит, выглядят ли производные нормально. Я заметил, что сделал ошибку, и исправил проблему. Это казалось достаточно простым, но после того, как я нашел ошибку, я начал сомневаться в себе.
$$f(t+1) = w_{t+1} \cdot f(t) $$
$$y^{*}_{t+1} = f(t+1)-{\frac {f'(t+1)}{1!}}(-t-1+t)$$
$$y^{*}_{t+1} = w_{t+1} f(t) + \dfrac{d}{df(t)}w_{t+1}f(t) + \dfrac{d}{dw_{t+1}}w_{t+1}f(t)$$
$$y’_{t+1} = w_{t+1} f(t) + w_{t+1} + f(t)$$
Подробности можно найти в посте блога:
ИЗМЕНЕНИЕ 7/6/20:
Форма AR:
$$y^{*}_{t+1}=c+\sum _{{I=0}}^{L}w _{t+1-i}y_{{t-i}}+\varepsilon _{t}$$
f(t) — это рекурсивный плотный слой, y — это предсказанный выход, w — это веса, а L — это количество компонент запаздывания. В простом случае, когда следующее значение зависит только от предыдущего, я получил следующий результат.
$$f(t+1) = w_{t+1} \cdot f(t) $$
$$y^{*}_{t+1} = f(t+1)-{\frac {f'(t+1)}{1!}}(-t-1+t)$$
$$y^{*}_{t+1} = w_{t+1} f(t) + \dfrac{d}{df(t)}w_{t+1}f(t)$$
$$y’_{t+1} = w_{t+1} f(t) + w_{t+1}$$
ИЗМЕНЕНИЕ 7/7/20:
Функция f(t) представляет y(t) с ошибкой. Ошибочный член может содержать какой-то случайный процесс, но я собираюсь предположить, что ошибки независимы.
$$f(t+1) = w_{t+1} \cdot y(t) + \epsilon_t$$
ИЗМЕНЕНИЕ 7/9/20:
Изменил размерность w_t+1 на w_t.
$$f(t+1) = w_{t} \cdot f(t) $$
$$y^{*}_{t+1} = f(t+1)-{\frac {f'(t+1)}{1!}}(-t-1+t)$$
$$y^{*}_{t+1} = w_{t} f(t) + \dfrac{d}{df(t)}w_{t}f(t)$$
$$y’_{t+1} = w_{t} f(t) + w_{t}$$
Я думаю, что дифференцирование неверно.
$y^{*}_{t+1} = w_{t+1}f(t) + \frac{df(t+1)}{d(t+1)}$
$y^{*}_{t+1} = w_{t+1}f(t) + \frac{d(w_{t+1}f(t))}{dt}*\frac{dt}{d(t+1)}$
$y^{*}_{t+1} = w_{t+1}f(t) + w_{t+1}\frac{df(t)}{dt} + f(t)\frac{dw_{t+1}}{dt}$
Ответ или решение
Анализ и вычисление производной первого порядка в модели авторегрессии с использованием ряда Тейлора
Авторегрессионные модели (AR) являются ключевыми инструментами в области временных рядов. Одной из основных задач при использовании таких моделей является правильное вычисление производных, что в свою очередь позволяет более точно оценивать будущее поведение системы. В данном ответе мы проведём пошаговый анализ вычисления производной первого порядка для авторегрессионной функции, основываясь на ряде Тейлора.
1. Постановка задачи
Рассмотрим функцию, описывающую зависимость наступающего значения временного ряда от предыдущего:
[
f(t+1) = w_{t} \cdot f(t)
]
Ваша цель – вычислить первый порядок ряда Тейлора для функции (f(t)), которая включает весовые коэффициенты (w) и возможный случайный шум (\epsilon).
2. Формулировка средней оценки
Начнём с представления предсказанного значения (y^{*}_{t+1}):
[
y^{*}_{t+1} = f(t+1) – \frac{f'(t+1)}{1!}(-t-1+t)
]
В данном уравнении мы пытаемся отразить изменение функции в некоторой окрестности. Теперь подставим выражение для (f(t+1)):
[
y^{*}{t+1} = w{t} f(t) – \frac{f'(t+1)}{1!}(-t-1+t)
]
3. Вычисление производной
Теперь необходимо вычислить производную первого порядка (f'(t+1)). Для этого используем производные от первого произведения:
[
f'(t+1) = \frac{d}{dt}(w{t} f(t)) = w{t} \frac{df(t)}{dt} + f(t) \frac{dw_{t}}{dt}
]
Таким образом, подставляя это выражение в уравнение для (y^{*}_{t+1}), получаем:
[
y^{*}{t+1} = w{t} f(t) + w{t} \frac{df(t)}{dt} + f(t) \frac{dw{t}}{dt}
]
Представленное уравнение корректно учитывает эффекты изменений как в функции (f(t)), так и в весах (w_t).
4. Уточнения и исправления
В процессе Ваших вычислений вы выявили некоторые ошибки. Важно, чтобы производные были записаны в согласованной форме, что необходимо для дальнейшего анализа. Например, наиболее правильной формой для производной (y^{*}_{t+1}) будет:
[
y’{t+1} = w{t} f(t) + w_{t}
]
Учтите, что корректная интерпретация произведений и производных критически важна для получения правильных результатов.
5. Заключение
Подводя итоги, сделаем вывод, что процесс вычисления производных в контексте авторегрессионных моделей требует внимательного подхода и точности. Ошибки в вычислениях могут серьезно исказить результаты, поэтому рекомендуется всегда пересматривать и перепроверять вычисления. Корректно рассчитанные производные позволяют не только более точно прогнозировать будущее значение временного ряда, но и лучше понимать динамику изменения данных во времени.
Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна помощь по конкретным аспектам авторегрессионных моделей, не стесняйтесь обращаться за консультацией.