Понимание роли фиктивных переменных в регрессионных моделях для категориальных данных

Вопрос или проблема

В модель категорической регрессии с $k$ категориями мы используем $k-1$ фиктивных переменных. Я понимаю, что $k$-я фиктивная переменная избыточна, потому что информация от первых $k-1$ фиктивных переменных достаточна.
$$y_1 = \beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + … + \beta_{k-1} x_{i(k-1)} + \epsilon_i$$

Означает ли это, что мы получаем полную информацию о $k$-й категории, если и только если все $x_{ij} = 0$ для$ j = 1, …, k-1$?
Обязательно ли, чтобы ни одна пара или более фиктивных переменных не равнялись 1 одновременно? Если они это делают, не приведет ли это к ситуации, когда нам не хватает информации о $k$-й категории из-за пункта (1)?
Это правило — иметь ровно $k-1$ фиктивных переменных или их может быть меньше?

Фиктивные переменные (т.е. one hot-кодирование) — это только один из доступных методов кодирования номинальной переменной. В этом методе вы представляете одну $k$-значную категориальную переменную как вектор бинарных переменных размерности $k-1$

Я не понимаю, что вы имеете в виду под полной информацией, но действительно $k$-я категория кодируется как все нули. В линейной регрессионной модели, которую вы описываете, коэффициент $\beta_{0}$ будет связан с этим базовым случаем
Если вы используете one-hot кодирование, то только одна из фиктивных переменных может быть равна единице в любой момент времени
Нет правила, что должно быть $k-1$ фиктивных переменных, это просто способ, которым one-hot кодирование выбирает кодирование. Если вы не хотите использовать one-hot кодирование, вы можете использовать меньше фиктивных переменных, но потеряете интерпретируемость коэффициентов

чтобы ответить на ваши вопросы,

для вашего уравнения y1=β1xi1+β2xi2+…+βk−1xi(k−1)+ϵi, если xij равно 0, то да, это означает, что это решено
по вопросам 2 и 3: когда вы работаете с категориальными значениями, это в основном зависит от необходимости, поэтому на основе этой необходимости мы выбираем модель регрессии.

Линейная регрессия для метрических и числовых переменных, а логистическая — для номинальных или порядковых

когда вы берете фиктивные переменные, это правило, что количество фиктивных переменных всегда характеристиках — 1, потому что одна из трех независимых переменных становится избыточной, и вам нужно только 2, поэтому:

нет правила в фиктивных переменных, что не может быть более одной основанной переменной с ‘1’, в фиктивных переменных

0 означает положительное, а 1 — отрицательное

если вы обнаружите, что одно значение 0, а другие 2 переменные равны 1, регрессионная модель выберет другие два, чтобы улучшить точность модели и для вашего понимания

предположим, что есть 3 независимые переменные, тогда значение k будет 4

Ответ или решение

Понимание роли фиктивных переменных (или дамми-переменных) в регрессионных моделях с категориальными предикторами является важной частью анализа данных в сфере науки о данных и машинного обучения. Этот метод особенно полезен, когда необходимо проанализировать влияние категориальных переменных на зависимую переменную, используя линейную регрессию. Рассмотрим этот подход с теоретической, практической и прикладной точек зрения.

Теория

При анализе данных мы часто сталкиваемся с категориальными переменными, которые могут принимать несколько различных значений, таких как "цвет автомобиля" (например, красный, синий, зеленый). Однако статистические методы, такие как линейная регрессия, требуют численных входных данных, поэтому необходимо преобразовать категориальные переменные в числовые. Один из самых распространенных методов — использование фиктивных переменных, и эта техника также известна как one-hot-кодирование.

Для категории с (k) различными значениями (например, разные цвета автомобиля) используется (k-1) фиктивных переменных. Это делается для предотвращения мультиколлинеарности, когда одна переменная может быть предсказана из других, что приведет к нестабильным оценкам регрессии. Если бы мы использовали (k) переменных, то они были бы линейно зависимыми, так как сумма всех фиктивных переменных для каждого наблюдения должна равняться 1. Таким образом, одна из категорий принимается как базовый уровень (обычно это категория по умолчанию), и её присутствие обозначается отсутствием всех остальных фиктивных переменных, то есть их значениями, равными нулю.

Пример

Рассмотрим подробнее: пусть у нас есть переменная "цвет автомобиля" с тремя возможными категориями: красный, синий и зеленый. Мы выбираем красный как базовый уровень и создаем две фиктивные переменные:

(D_1) для синего цвета: (D_1 = 1), если автомобиль синий, и (D_1 = 0) в противном случае.
(D_2) для зеленого цвета: (D_2 = 1), если автомобиль зеленый, и (D_2 = 0) в противном случае.

Если (D_1 = 0) и (D_2 = 0), значит, автомобиль красный, что соответствует базовому уровню.

Применение

Теперь, когда мы понимаем, как работают фиктивные переменные, можно обсудить их применение на практике:

Значение фиктивных переменных: В модели линейной регрессии коэффициенты при фиктивных переменных интерпретируются как изменение в зависимой переменной относительно базового уровня. Например, если коэффициент при (D_1) положителен, это может означать, что синие автомобили имеют, например, более высокую стоимость по сравнению с красными автомобилями, при прочих равных условиях.
Непересекающиеся категории: Использование фиктивных переменных означает, что в любой момент времени только одна фиктивная переменная может быть равна единице, так как каждая переменная представляет одну из категорий наряду с базовым уровнем. Это гарантирует уникальные коды для каждой категории и исключает возможность появления мультиколлинеарности.
Число фиктивных переменных: Как уже обсуждалось, число фиктивных переменных всегда на единицу меньше числа категорий, чтобы избежать избыточности данных. Однако в некоторых расширенных методах анализа могут использоваться все (k) переменных, но с корректировкой моделей, чтобы устранить проблему мультиколлинеарности.

В завершение, фиктивные переменные — это мощный инструмент для работы с категориальными данными в регрессионных моделях. Правильное понимание и применение этого метода позволяет сформировать более точные и интерпретируемые модели, особенно в ситуациях, где категории играют ключевую роль в анализе данных.